ויקיספר

תורת הקבוצות/קבוצת החזקה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 3:
 
==הגדרה ותכונות בסיסיות==
{{הגדרה|
הגדרה: תוכן=בהינתן קבוצה <math>A</math> , קבוצת החזקה של <math>A</math> מסומנת על-ידי <math>\mathbb{P}(A)</math> או על-ידי <math>2^A</math> (סימון זה יובהר בהמשך ובמהלך הספר נשתמש בסימונים השונים לסרוגין), קבוצת כל הקבוצות החלקיות של הקבוצה <math>A</math> . באופן פורמאלי:
<center><math>\mathbb{P}(A)=\{\alpha|\alpha\subset A\}</math></center>
:<font size=4><math>\mathbb{P}(A)=\big\{\alpha|\alpha\subset A\big\}</math></font size=4>}}

קל לראות שמתקיים <math>A\in\mathbb{P}(A)</math> וכן, <math>\varnothing\in\mathbb{P}(A)</math> . וכן, באופן טריוויאלי אם מתקיים <math>\alpha\subset A</math> אזי מתקיים <math>\alpha\in\mathbb{P}(A)</math> .
 
===דוגמאות===
בהינתן <math>A=\big\{0,1,2\big\}</math> אזי
:<centerfont size=4><math>2^A=\Big\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\Big\}</math></centerfont size=4>
 
הערה: נשים לב, שכמות האברים בקבוצת החזקה של <math>A</math> הוא בדיוק 2 בחזקת כמות האברים ב- <math>A</math> . טענה זו תוכלל בסעיף הבא, ותהיה לה חשיבות רבה בהמשך כשנדבר על עוצמות.▼
;הערה
▲הערה: נשים לב, שכמות האברים בקבוצת החזקה של <math>A</math> הוא בדיוק 2 בחזקת כמות האברים ב- <math>A</math> . טענה זו תוכלל בסעיף הבא, ותהיה לה חשיבות רבה בהמשך כשנדבר על עוצמות.}}
 
==קבוצת החזקה של קבוצה סופית==
כפי שראינו בדוגמאות, קבוצת החזקה של קבוצה <math>A</math> (שאיננה ריקה) תמיד מכילה לפחות 2 אברים (אבר אחד בלבד אם היא הקבוצה הריקה), הקבוצה עצמה והקבוצה הריקה. ברצוננו לגלות כמה אברים יש בקבוצת החזקה של קבוצה סופית. לדבר יש הוכחות רבות, גם מתוך תורת הקבוצות וגם מתוך קומבינטוריקה. ההוכחות הקומבינטורית והאינדוקטיבית הן אלמנטריות, ההוכחה באמצעות עוצמות דורשת ידע מפרק מתקדם יותר בספר זה, ומומלץ לקורא המתחיל לחכות לפני שהוא קורא אותה.
 
{{הגדרה: |תוכן=בהינתן קבוצה סופית <math>A=\big\{a_1,\dotsldots,a_n\big\}</math> בעלת <math>n</math> אברים, נסמן <math>|A|</math> את מספר האברים של הקבוצה.}}
 
{{טענה: |תוכן=בהינתן קבוצה סופית <math>A=\{a_1,\dotsldots,a_n\}</math> מתקיים שכי:
:<centerfont size=4><math>\big|\mathbb{P}(A)\big|=|2^A|=2^{|A|}</math></centerfont size=4>
 
===;הוכחה אינדוקטיבית===
כאשר <math>n=0</math> מתקיים <math>A=\varnothing</math> . עבורה, מתקיים ש:כי <math>|2^A|=|\{\varnothing\}|=1</math> .
 
וכן, עבור <math>n=1</math> מתקיים <math>A=\{a_1\}</math> לכן, <math>|2^A|=\Big|\big\{\varnothing,\{a\}\big\}\Big|=2</math> .
 
כעת, יהי <math>k</math> מספר טבעי כלשהו כך שהטענה נכונה עבור <math>n=k</math> . נראה נכונות הטענה עבור <math>n=k+1</math> . תהי
<center><math>A=\{a_1,\dots,a_{k+1}\}</math></center>
קבוצה כלשהי בת <math>k+1</math> אברים. נחלק ל-2 את תת-הקבוצות של <math>A</math> : או שהאבר <math>a_{k+1}</math> שייך לקבוצה, או שלא. מספר כל הקבוצות שעבורן <math>a_{k+1}</math> לא שייך לקבוצה הוא, לפי הנחת האינדוקציה, <math>2^k</math> . ואם נוסיף לכל תת-קבוצה כזו את האבר <math>a_{k+1}</math> , אז נקבל פשוט את כל הקבוצות שהאבר הנ"ל כן שייך אליהן. לכן, בסך הכל:▼
<center><math>|2^A|=2^k+2^k=2^{k+1}</math></center>▼
מכאן, מנכונות בסיס וצעד האינדוקציה ועיקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל <math>n</math> . כנדרש.▼
 
תהי <math>A=\big\{a_1,\ldots,a_{k+1}\big\}</math> קבוצה כלשהי בת <math>k+1</math> אברים. נחלק ל-2 את תת-הקבוצות של <math>A</math> : או שהאבר <math>a_{k+1}</math> שייך לקבוצה, או שלא.
===הוכחה קומבינטורית===▼
 
▲קבוצה כלשהי בת <math>k+1</math> אברים. נחלק ל-2 את תת-הקבוצות של <math>A</math> : או שהאבר <math>a_{k+1}</math> שייך לקבוצה, או שלא. מספר כל הקבוצות שעבורן <math>a_{k+1}</math> לא שייך לקבוצה הוא, לפי הנחת האינדוקציה, <math>2^k</math> . ואם נוסיף לכל תת-קבוצה כזו את האבר <math>a_{k+1}</math> , אז נקבל פשוט את כל הקבוצות שהאבר הנ"ל כן שייך אליהן. לכן, בסך הכל:
▲:<centerfont size=4><math>|2^A|=2^k+2^k=2^{k+1}</math></centerfont size=4>
▲מכאן, מנכונות בסיס וצעד האינדוקציה ועיקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל <math>n</math> . כנדרש.<math>\blacksquare</math>
 
▲===;הוכחה קומבינטורית===
ההוכחה הזו מניחה ידע קומבינטורי שהקורא יכול לוודא בספר מתאים בנושא, או בקורס במתמטיקה דיסקרטית.
 
טענה 1: מספר האפשרויות לבחור <math>k</math> עצמים שונים בלי חשיבות לסדר, מתוך <math>n</math> עצמים, נתון על-ידי
:<centerfont size=4><math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math></centerfont size=4>
טענה 2: נוסחת הבינום של ניוטון לכל <math>x\in\R</math> מתקיים ש:כי
:<centerfont size=4><math>(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k</math></centerfont size=4>
 
כעת, נשים לב שבהינתן קבוצה סופית <math>A</math> בעלת <math>n</math> אברים, כמות תת-הקבוצות של <math>A</math> שיש בהן בדיוק <math>k</math> אברים הוא <math>\binom{n}{k}</math> , לכן,
:<centerfont size=4><math>|2^A|=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}</math></centerfont size=4>
לכן, על-ידי הצבה שלהצבת <math>x=1</math> בנוסחת הבינום של ניוטון, נקבל:▼
:<centerfont size=4><math>2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=|2^A|</math></centerfont size=4>▼
<math>\blacksquare</math>
 
===;הוכחה באמצעות עוצמות===▼
▲לכן, על-ידי הצבה של <math>x=1</math> בנוסחת הבינום של ניוטון, נקבל:
▲<center><math>2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=|2^A|</math></center>
כנדרש.
 
▲===הוכחה באמצעות עוצמות===
{{שקול לדלג|ההוכחה הנ"ל משתמשת במושג של פונקציות ועוצמות שעדיין לא למדנו. מומלץ לחזור לקרוא את ההוכחה הנ"ל מיד לאחר שסיימת לקרוא את הפרק על עוצמות, שכן היא מדגימה בצורה טובה את השימוש בעוצמות לשם הוכחות קומבינטוריות.}}
 
בהינתן קבוצה <math>A</math> סופית בעלת <math>n</math> אברים, נרצה למצוא קבוצה שהעוצמה שלהשעוצמתה היא <math>2^n</math> , ולהראות שהקבוצה הנ"ל שקולה לקבוצת החזקה.
 
נסתכל על הקבוצה <math>\{0,1\}^n</math> . קל להראות שזו אכן הקבוצה המבוקשת. נגדיר את הפונקציה:
:<centerfont size=4><math>f:\{0,1\}^n\to 2^A</math></centerfont size=4>
על-ידי
:<centerfont size=4><math>f(x_1,\dotsldots,x_n)=\big\{a_k\in A|x_k\ne0\big\}</math></centerfont size=4>
קל להוכיח שזו אכן פונקציה חח"ע ועל. באופן אינטואטיביאינטואיטיבי, <math>f</math> מקבלת מעין "מתכון" שאומר איזה מהאברים להכניס לתת-קבוצה ואיזה לא לפי הסדר של ה-0 ו-1 שהיא מקבלת.

אם היא מקבלת 1 במקום ה- <math>k</math> , האבר ה- <math>k</math> בקבוצה <math>A</math> נכנס לתת-קבוצה ש- <math>f</math> מחזירה.
 
 
הוכחת החד-חד הערכיות והעל של <math>f</math> מושארת כתרגיל לקורא.}}
 
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/תורת_הקבוצות/קבוצת_החזקה"