ויקיספר

תורת הקבוצות/יחסים: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 66:
===[[תורת הקבוצות/פונקציות|פונקציה]]===
הגדרה: יחס בינארי <math>\mathcal{R}\subseteq A\times B</math> יקרא פונקציה מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> אם מתקיים:
#אם <math>(a,b)\in \mathcal{ R}</math> וגם <math>(a,c)\in \mathcal{ R}</math> אזי <math>b=c</math> .
#<math>\text{Domain}(\mathcal{R})=A</math>
 
שורה 74:
====דוגמאות====
*נגדיר <math>f:\N\to\N</math> על-ידי: <math>f(n)=n+1</math> . נשים לב שבאותה מידה יכולנו לרשום:
<center><font size=4><math>f=\Big\{(n,n+1)\Big|n\in\N\Big\}</math></font size=4></center>
*לכל קבוצה לא-ריקה <math>A</math> ואבר בה <math>a\in A</math> , נוכל להגדיר את הפונקציה הקבועה <math>c_a:A\to A</math> המוגדרת על-ידי:
<center><font size=4><math>c_a(x)=a</math></font size=4></center>
 
===[[תורת הקבוצות/יחסי שקילות|יחס שקילות]]===
המטרה של יחס שקילות היא להכליל את האופן שבו אנחנו תופשים שני עצמים באותה הקבוצה כ"שקולים" באיזשהו אופן.
 
הגדרה: יחס בינארי <math>\mathcal R</math> ב- <math>A</math> יקרא '''יחס שקילות''' אם הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
 
הערה: כשם שהאות <math>f</math> היא סימון מקובל לפונקציה, כך גם הסימנים "~", "=" ועוד בסגנון, לעתים מסמלים יחס שקילות.
 
====דוגמאות====
*היחס <math>R_3\mathcal{R}_3</math> בדוגמאות לעיל, הוא יחס שקילות (על הקורא לוודא שאכן זה כך.)
*יחס הדמיון בין משולשים כפי שנלמד בתיכון, הוא יחס שקילות.
*נקבע מספר טבעי כלשהו <math>k</math> ונגדיר ב-<math>\Z</math> את היחס
<center><font size=4><math>\equiv_k=\Big\{(n,m):k\Big|(m-n)\Big\}</math></font size=4></center>
 
===[[תורת הקבוצות/יחסי סדר|יחסי סדר]]===
יחסי הסדר באים להכליל את ההבנה של המושג "גדול מ" ו"קטן מ" לקבוצה כלשהי.
 
הגדרה: יחס בינארי <math>\mathcal R</math> ב- <math>A</math> , יקרא '''יחס סדר חלקי ב- '''<math>A</math>''' אם הוא מקיים רפלקסיביות, אנטי-סימטריות וטרנזיטיביות. קבוצה <math>A</math> עם יחס סדר חלקי <math>\mathcal R</math> , נקראת '''קבוצה סדורה חלקית''' או בקיצור, '''קס"ח'''.
 
====דוגמאות====
שורה 102:
כפי שניתן לראות מהדוגמה הראשונה, אם נסתכל ב- <math>3,5\in\Z</math>, אזי <math>3\nmid 5</math> וגם <math>5\nmid 3</math> , מה שלא היינו מצפים היחס <math>\le</math> שאנחנו רגילים אליו מההתעסקות במספרים ממשיים. במקרה הזה, נאמר ש-3 ו-5 '''לא ניתנים להשוואה''' ביחס |.
 
הגדרה: בהינתן <math>A</math> קס"ח על-ידי יחס הסדר <math>R</math> , אם עבור <math>a,b\in A</math> מתקיים ש- <math>aRb</math> או <math>bRa</math> , אזי נאמר ש-כי <math>a,b</math> '''ניתנים להשוואה על-ידי''' <math>\mathcal R</math>''' .
 
הגדרה: בהינתן <math>A</math> קס"ח על-ידי יחס הסדר <math>\mathcal R</math> , נאמר ש-כי <math>\mathcal R</math> הוא '''יחס שלם''' או '''יחס לינארי''' אם כל שני אברים ב- <math>A</math> ניתנים להשוואה על-ידי <math>\mathcal R</math> . במקרה זה נכנה את <math>A</math> '''קבוצה סדורה לינארית''' או בקיצור, '''קס"ל'''.
 
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/תורת_הקבוצות/יחסים"