אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

יהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{F}</math> , ותהי <math>T:V\to W</math> פונקציה. <math>T</math> תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור '''ה"ל''') אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:

*<math>T(\vec 0_V)=T(\vec 0_V+(-1)\vec 0_V)=T(\vec 0_V)-T(\vec 0_V)=\vec 0_W\Rightarrow \rArr\ T(\alpha u)=T(\vec 0_V+\alpha u)=\vec 0_W+\alpha T(u)=\alpha T(u)</math>

**הוכחה: <math>T\left(\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i\right)=\sum_{i=1}^n T(\alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_iT(u_i)</math>

תהיינה <math>T,S:V\rightarrowto W</math> ה"ל, ו- <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> . אזי:

קל לראות, ש-כי <math>\alpha T,T+S</math> גם הן העתקות לינאריות מ-<math>V</math> ל-<math>W</math> .

מתכונות מרחבים וקטוריים, אפשר לראות שקבוצת ההעתקות הלינאריות מ-<math>V</math> ל-<math>W</math> מהווה מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . קבוצה זו, תסומן <math>\mboxtext{Hom}(V,W)</math>

יהיו <math>V,W,U</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{F}</math> , ותהיינה <math>T:V\rightarrowto W, S:W\to U</math> העתקות לינאריות.

ההרכבה <math>ST=\lambda u\in V : S(T(u))\in U</math> , גם היא העתקה לינארית. נוכיח זאת לפי הקריטריון המקוצר:

יהיו <math>u,v\in V,\alpha\in\mathbb{F}</math> . אזי <math>ST(u+\alpha v)=S\big(T(u+\alpha v)\big)=S\big(T(u)+\alpha T(v)\big)=S(T(u))+\alpha S(T(v))=ST(u)+\alpha ST(v)</math>

תהי <math>T:V\to W</math> ה"ל. הגרעין של <math>T,</math> יוגדר להיות:

*<math>\mboxtext{Ker}(T)=\{u\in V|T(u)=\vec 0_W\}\subseteq V</math> .

הגרעין של העתקה לינארית, הוא תת -מרחב של המקור. הוכחה: נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:

*<math>T(\vec 0_V)=0_W\Rightarrow rArr\vec 0_V\in\mboxtext{Ker}(T)\RightarrowrArr\mboxtext{Ker}(T)\ne\emptyvarnothing</math>

*<math>\forall\alpha\in\mathbb{F},u,v\in\mboxtext{Ker}(T):T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)=\vec 0_W+\alpha\vec 0_W=\vec 0_W\Rightarrow rArr(u+\alpha v)\in\mboxtext{Ker}(T)</math>