מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה שלישית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 28:
==כיצד נחלץ את <math>x</math> ?==
נתונה לנו המשוואה
נחלק אותה במקדם של <math>x^3</math> :
ננסה להשלים אותה לקוביה מהתבנית <math>(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3</math> .{{ש}}
נחבר ונחסר ביטוי קובייתי דומה.
<math display=block>
</math>▼
נמשיך בהשלמה, נחבר ונחסר ביטויים מתאימים:
נהפוך את הביטוי בסוגריים הכתומים לקוביה:
<math display=block>
▲<math>
\begin{matrix}
{\color{Orange}\left(x+\dfrac{b}{3a}\right)^3}+\dfrac{c}{a}x-3\left(\dfrac{b}{3a}\right)^2x-\left(\dfrac{b}{3a}\right)^3+\dfrac{d}{a}=0
שורה 52 ⟵ 53:
\left(x+\dfrac{b}{3a}\right)^3+\left(\dfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right)\left(x+\dfrac{b}{3a}\right)+\dfrac{2b^3+27a^2d-9abc}{27a^3}=0
\end{matrix}
</math
עתה הגענו למשוואה קובית בתבנית <math>y^3+my+n=0</math> . כיצד נמשיך מכאן?
שורה 60 ⟵ 61:
\begin{matrix}
x+\dfrac{b}{3a}=A+B=y\quad,\quad\dfrac{3ac-b^2}{3a^2}=-3AB=m\quad,\quad\dfrac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}=A^3+B^3=-n
שורה 72 ⟵ 73:
x=y-\dfrac{b}{3a}=A+B-\dfrac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}+\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}-\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^3}{27}}}-\dfrac{b}{3a}
\end{matrix}
</math
שימו לב: עלינו לקחת בחשבון כי מעל המרוכבים למשוואה הקובית עד 3 פתרונות, לכן המספר '''1''' הנו בעל 3 שורשים - יחיד ממשי '''1''' ו-2 מרוכבים <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> .
כאשר מוציאים '''1''' מתוך כל אחד מהשורשים הקוביים במשוואה הראשונית <math>x_1</math> מקבלים את המשוואות הבאות:
\begin{matrix}
\color{red}x_1=\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}+\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}-\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^3}{27}}}-\dfrac{b}{3a}
שורה 85 ⟵ 86:
\color{red}x_2=\left(-\dfrac{1+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}+\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^3}{27}}}+\left(-\dfrac{1-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}-\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^3}{27}}}-\dfrac{b}{3a}
\end{matrix}
</math
אם כן, מדוע מופיעים המרוכבים במכפלות בזוגות של צמודים ולא בשווה, כלומר <math>(a\pm bi)A+(a\mp bi)B</math> ולא <math>(a\pm bi)(A+B)</math> ? ההסבר פשוט:{{ש}}
שורה 94 ⟵ 95:
כך תראינה המשוואות כשנציב בהן את ערכי הפרמטרים <math>y,m,n</math> בהתאמה:
\begin{matrix}
x_1=\dfrac{\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{3\sqrt[3]2a}-\dfrac{b}{3a}
שורה 102 ⟵ 103:
x_3=\dfrac{(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\dfrac{b}{3a}
\end{matrix}
</math
זוהי תוצאה מסורבלת ואף מכוערת, לכן נעדיף לרוב את הדרך הקודמת והקצרה.
| |||