ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
==מהי משוואה ריבועית==
משוואה ריבועית היא משוואה בעלת הצורה <math>ax^2+bx+c=0</math> כאשר נתון ש- <math>a\ne0</math> ו- <math>a,b</math> וגם <math>,c</math> הם מספרים קבועים (יתכן והם יופיעו בצורה מפורשת - כלומר מספרים כמו 1 או 3 וגם יתכן שהם יופיעו בצורה פרמטרית, כלומר כאותיות, במקרה זה יש לשים לב שאנו מתייחסים אל האותיות הללו כמספרים קבועים ולא כנעלמים. אנו מחפשים את הערך של <math>x</math> ולא של <math>a</math> למשל). זו משוואה לא -לינארית (הנעלם מופיע בה בחזקה שניה).
 
למשוואה ריבועית יכולים להיות:
שורה 7:
*אין אף פתרון (במספרים ממשיים) כלומר, אין אף מספר שניתן להציב במקום <math>x</math> שעבורו נקבל פסוק אמת.
ניתן לפתור כל משוואה ריבועית או לפחות להגיע לקביעה שאין פתרון ממשי. הפתרון מתבסס על הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית שעליה נדבר בהמשך. הנוסחא היא הדרך ה'''בטוחה''' לפתור כל סוג של משוואה ריבועית אך היא אינה הדרך הקצרה ביותר או הפשוטה ביותר. במקרים רבים קל יותר לנצל את [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|הטרינום הריבועי]] על-מנת לפתור את המשוואה בדרך מהירה יותר. נדגים את שתי השיטות בהמשך על המשוואה הריבועית
<center><math display=block>x^2+5x-14=0</math></center>
אך ראשית נסביר את הבעייתיות שמופיעה מרגע שנוספת חזקה שניה של הנעלם למשוואה.
 
לפני שנתחיל לעבוד על משוואה ריבועית עלינו לסדר אותה, כלומר להעביר את כל האברים לאגף אחד:
<center><math display=block>12x^2-4x+23=11x^2-3x+21\quad \Rightarrow\quad x^2-x+2</math></center>
 
=מציאת פתרונות למשוואה ריבועית=
שורה 19:
ראשית, נזכיר מהו שורש ריבועי. שורש ריבועי הינו הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע כלומר, השורש של מספר הוא המספר שאותו, אם נעלה בריבוע נקבל את המספר המקורי. לפרטים נוספים חזור לפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/שורשים|חזקות ושורשים]].
 
עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים '''שונים''' אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים <math>9</math> וגם <math>-9\pm9</math> שניהם יכולים להיות השורש. במתמטיקה נהוג לבחור באופן שרירותי את הפתרון החיובי אך במשוואות עלינו להיות מדויקים יותר, שכן גם <math>-9</math> וגם <math>9</math> הם שורשים של 81.
 
כיון שכך, עלינו לשים לב שבפעולת הוצאת השורש אנו לא מאבדים פתרונות. על כן, אם נתונה המשוואה:
<center><math display=block>x^2=81</math></center>
הפתרון הוא:
<center><math display=block>x_{1,2}=\pm 9pm9</math></center>
ו'''לא''', כפי שתלמידים רבים טועים: <math>x=9</math> .
 
==פתרון על-ידי הטרינום הריבועי==
נחזור למשוואה שהצגנו בראש העמוד. נתחיל את פתרון המשוואה בפירוק הטרינום לבינומים כפי שהוצג בפרק ה[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|טרינום הריבועי]]. לאחר חישוב מתקבל:
<center><math display=block>x^2+5x-14=(x+7)(x-2)</math></center>
ביטוי זה אינו המשוואה שאנו מעונינים לפתור. זהו רק אגף שמאל שלה, אשר פרקנו לגורמים בעזרת פירוק טרינום. במשוואה המקורית כתוב שאגף ימין שווה ל-0 כלומר
<center><math>x^2+5x-14=0</math></center>
או במילים אחרות
<center><math display=block>(x+7)(x-2)=0</math></center>
נמשיך בפתרון כפי שעשינו ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות|פרק הקודם]]. נחלק את המשוואה למקרים.
#<math>x+7=0\ \Rightarrow\ x_1=-7</math>
#<math>x-2=0\ \Rightarrow\ x_2=2</math>
ואז הפתרון של המשוואה המקורית שלנו הוא:{{ש}}
:<math>x_1=-7,x_2=2</math>
 
==הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית==
שורה 46:
 
נשתמש כעת בנוסחא זו על-מנת לפתור את המשוואה שפתרנו בעזרת הטרינום. במקרה זה <math>a=1,b=5,c=-14</math> . נציב את הערכים הללו בנוסחא ונקבל:
<center><math display=block>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1cdot1\cdot(-14)}}{2\cdot 1cdot1}</math></center>
כאן מפרידים לפלוס ולמינוס ומקבלים:
<center><math display=block>\begin{matrix}x_1=\fracdfrac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot 1cdot1\cdot(-14)}}{2\cdot 1cdot1}=\fracdfrac{-5+\sqrt{25+4\cdot 14cdot14}}{2}=\fracdfrac{-5+\sqrt{81}}{2}=2</math>
\\\\
<br>
<math>x_2=\fracdfrac{-5-\sqrt{5^2-4\cdot 1cdot1\cdot(-14)}}{2\cdot 1cdot1}=\fracdfrac{-5-\sqrt{25+4\cdot 14cdot14}}{2}=\fracdfrac{-5-\sqrt{81}}{2}=-7\end{matrix}</math></center>
והגענו בדיוק לאותם פתרונות שהגענו בדרך של הטרינום. קל לראות שהדרך של הטרינום היא קצרה בהרבה מהדרך של הנוסחא אך זו נחמה פורתא משום שהדרך של הטרינום אינה עובדת בחלק נכבד מהמקרים ובמקרים אלו נאלץ להשתמש בשיטה של הנוסחא.
 
שורה 57:
===הוכחת פתרון המשוואה הריבועית===
כדי להוכיח את נכונות פתרון המשוואה הריבועית נשתמש בטכניקת ה"[[השלמה לריבוע]]"
<center><math display=block>ax^2+bx+c=0</math></center>
נחלק את המשוואה ב- <math>a</math> ונקבל:▼
 
<center><math display=block>x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0</math></center>▼
▲נחלק את המשוואה ב- <math>a</math> ונקבל:
▲<center><math>x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0</math></center>
נחסר את הביטוי <math>\frac{c}{a}</math> משני האגפים:
<center><math display=block>x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}</math></center>
 
עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונהפוך את אגף שמאל לביטוי ריבועי:
<center><math display=block>x^2+2\left(\frac{b}{2a}x\right)=-\frac{c}{a}</math></center>
 
וכדי להשלים את הריבוע סופית באגף שמאל נוסיף את הביטוי הריבועי <math>\left(\frac{b}{2a}\right)^2</math> לשני האגפים:
<center><math display=block>x^2+2\left(\frac{b}{2a}x\right)+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}</math></center>
 
עתה ניתן להפוך את אגף שמאל כולו לביטוי ריבועי פשוט (מוכר לכם?)
<center><math display=block>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}</math></center>
 
נפתח סוגריים באגף ימין:
<center><math display=block>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}</math></center>
 
ונכנס אברים באמצעות מכנה משותף:
<center><math display=block>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math></center>
 
כמעט סיימנו. נוציא שורש ריבועי משני האגפים:
<center><math display=block>x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}</math></center>
 
כיון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון <math>x_{1,2}</math> ומתקבלים בעזרת הסימן <math>\pm</math> כפי שהודגם בראש העמוד.{{ש}}▼
 
▲כיון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון <math>x_{1,2}</math> ומתקבלים בעזרת הסימן <math>\pm</math> כפי שהודגם בראש העמוד.{{ש}}
המכנה בשורש באגף ימין עובר פישוט ומצטמצם, ואילו המונה בשורש עומד בעינו, כך:
<center><math display=block>x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>
 
עתה, כל שעלינו לעשות הוא להחסיר <math>\frac{b}{2a}</math> משני אגפי המשוואה כדי לבודד את <math>x_{1,2}</math> :
<center><math display=block>x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>
נכנס אברים במכנה משותף <math>2a</math> , ונקבל ש-כי▼
 
<center><math display=block>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>▼
▲נכנס אברים במכנה משותף <math>2a</math> , ונקבל ש-
▲<center><math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>
כנדרש.
 
שורה 116 ⟵ 108:
<math>8=x(x+m)</math> פירוק לגורמים
 
<math>x=\frac{8}frac8{x+m}</math> מחלקים את הגורמים שפירקנו במספר שבצד השני כלומר העברנו אותו צד
 
=משוואות ריבועיות עם שברים=
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/משוואות/משוואות_ריבועיות"