|
;הוכחה
יש להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|<\varepsilon</math> . על-ידי מכנה משותף נקבל:
<math display=block>
<center>
<math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}+\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}\right|+\left|\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}
</math>
</center>
קיים <math>A>0</math> כלשהו כך שמתקיימים המקרים <math>|L|<A</math> וגם <math>|M|<A</math> .
<math display=block>
<center>
<math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\Big|f(x)-L\Big|+\Big|g(x)-M\Big|}{\Big|g(x)\Big|}
</math>
</center>
*קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_1</math> מתקיים <math>\Big|g(x)-M\Big|<\frac{|M|}{2}</math> . מכאן:
<math display=block>
<center>
<math>|M|=\bigg|M-g(x)+g(x)\bigg|\ {\color{red}\le}\ \Big|g(x)-M\Big|+\Big|g(x)\Big|\ {\color{red}<}\ \frac{|M|}{2}+\Big|g(x)\Big|\quad\implies\quad\Big|g(x)\Big|\ {\color{red}>}\ |M|-\frac{|M|}{2}=\frac{|M|}{2}\quad\implies\quad\frac{1}{\Big|g(x)\Big|}<\frac{2}{|M|}
</math>
</center>
*קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>\Big|g(x)-M\Big|<\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon</math> .
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> . לפיכך,
<math display=block>
<center>
<math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\Big|f(x)-L\Big|+\Big|g(x)-M\Big|}{\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{2}{|M|}\cdot\left(\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon+\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon\right)=\varepsilon
</math>
</center>
<math>\blacksquare</math>
| 