מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה שלישית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 54:
\end{matrix}
</math>
 
עתה הגענו למשוואה קובית בתבנית <math>y^3+my+n=0</math> . כיצד נמשיך מכאן?
 
שורה 67 ⟵ 68:
B=-\dfrac{m}{3A}\quad,\quad A^3=-n-\left(-\dfrac{m}{3A}\right)^3
\\\\
(A^3)^2+n(A^3)+\left(-\dfrac{m^3}{273}\right)^3=0\qquad\Rightarrow\qquad A^3=-\dfrac{n}{2}\pm\dfrac12\sqrt{n^2-4\left(-\dfrac{m^3}{273}\right)^3}\qquad\Rightarrow\qquad A=\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}
\\\\
B^3=-n-A^3\qquad\Rightarrow\qquad B^3=-n-\left(-\dfrac{n}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}\right)=-\dfrac{n}{2}\mp\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}\qquad\Rightarrow\qquad B=\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}\mp\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}
\\\\
x=y-\dfrac{b}{3a}=A+B-\dfrac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}-\dfrac{b}{3a}
\end{matrix}
</math>
 
שימו לב: עלינו לקחת בחשבון כי מעל המרוכבים למשוואה הקובית עד 3 פתרונות, לכן המספר '''1''' הנו בעל 3 שורשים - יחיד ממשי '''1''' ו-2 מרוכבים <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> .
 
שימו לב: עלינו לקחת בחשבון כי מעל המרוכבים למשוואה הקובית עד 3 פתרונות, לכן המספר '''1''' הנו בעל 3 שורשים - יחיד ממשי '''1''' ו-2ו־2 מרוכבים <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> .
כאשר מוציאים '''1''' מתוך כל אחד מהשורשים הקוביים במשוואה הראשונית <math>x_1</math> מקבלים את המשוואות הבאות:
 
כאשר מוציאים '''1''' מתוך כל אחד מהשורשים הקוביים במשוואה הראשונית <math>x_1</math> מקבלים את המשוואות הבאות:{{ש}}
 
<math display=block>
\begin{matrix}
\color{red}x_1=\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}-\dfrac{b}{3a}
\\\\
\color{red}x_2=\left(-\dfrac{1-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}+\left(-\dfrac{1+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}-\dfrac{b}{3a}
\\\\
\color{red}x_2=\left(-\dfrac{1+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}+\left(-\dfrac{1-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\dfrac{n}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{n^2}{42}\right)^2+\left(\dfrac{m^3}{273}\right)^3}}-\dfrac{b}{3a}
\end{matrix}
</math>
{{ש}}
אם כן, מדוע מופיעים המרוכבים במכפלות בזוגות של צמודים ולא בשווה, כלומר <math>(a\pm bi)A+(a\mp bi)B</math> ולא <math>(a\pm bi)(A+B)</math> ? ההסבר פשוט:{{ש}}
 
כיון שבאחתבאחת ההגדרות הראשונות קודם לכןלמעלה קיבלנו <math>AB=-\frac{m}{3}</math> , ואם נכפיל <math>(a\pm bi)A\cdot(a\mp bi)B</math> נקבל <math>(a^2+b^2)AB</math> - מה גם שגודלו של המרוכב אכן <math>\left|\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}\right|=\sqrt{a^2+b^2}=1</math> . נסו זאת.
אם כן, מדוע מופיעים המרוכבים במכפלות בזוגות של צמודים ולא בשווה, כלומר <math>(a\pm bi)A+(a\mp bi)B</math> ולא <math>(a\pm bi)(A+B)</math> ? ההסבר פשוט:{{ש}}
כיון שבאחת ההגדרות הראשונות קודם לכן קיבלנו <math>AB=-\frac{m}{3}</math> , ואם נכפיל <math>(a\pm bi)A\cdot(a\mp bi)B</math> נקבל <math>(a^2+b^2)AB</math> - מה גם שגודלו של המרוכב אכן <math>\left|\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}\right|=\sqrt{a^2+b^2}=1</math> . נסו זאת.
 
לו נכתוב <math>(a\pm bi)(A+B)</math> נוכל לראות שזו תוצאה שלא פותרת את המשוואה. חד וחלק.
 
 
כך תראינה המשוואות כשנציב בהן את ערכי הפרמטרים <math>y,m,n</math> בהתאמה:
<math display=block>
\begin{matrix}
x_1=\dfrac{\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{3\sqrt[3]2a}-\dfrac{b}{3a}
\\\\
x_2=\dfrac{(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\dfrac{b}{3a}
\\\\
x_3=\dfrac{(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\dfrac{b}{3a}
\end{matrix}
</math>
 
זוהי תוצאה מסורבלת ואף מכוערת, לכן נעדיף לרוב את הדרך הקודמת והקצרה.
 
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית - משוואות]]