ויקיספר

הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
<math>\sqrt[n]{a}</math> הוא מספר שלם או אי-רציונאליאי־ראציונאלי לכל <math>a,n\in\N_{>1}</math> .
 
;הוכחה
נניח בשלילה כי קיים <math>\frac{c}{b}\in\Q</math> כאשר <math>b,c\in\N_{>1}</math> מספרים זרים, כך ש-שמתקיים <math>\sqrt[n]{a}=\frac{c}{b}</math> .
 
מספרים <math>b,c</math> זרים אם ורק אם מחלקם המשותף המקסימלי הוא 1.
 
נעלה את הביטוי ב- <math>n</math> ונקבלנקבל <math>a=\left(\frac{c^n}{b}\right)^n}\iff a=\left(\frac{c^n}{b}\right)^{n}</math> .
 
במשוואה <math>ab^n=c^n</math> לפי [[w:המשפט היסודי של האריתמטיקה|המשפט היסודי]] קיים מספר ראשוני <math>p</math> כך ש-שמתקיים <math>p|b^n</math> .
 
לפי [[w:הלמה של אוקלידס|לֵמַתהלמה של אוקלידס]] אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק '''לפחות אחד מגורמיה''', כך
:<math>\iff p|a_1a_2 (a_1\times\cdots\times a_n</math>{{כ}}<math>)\iff p|a_1</math> או <math>p|a_2</math> או <math>\or\cdots</math>\or או <math>p|a_n</math> .
לפיכך
:<math>p|b^n\iff p|b</math>
אך מן השוויון <math>ab^n=c^n</math> נובעת גרירה <math>p|c^n\iff p|ab^n</math> . מלֵמַת אוקלידס הנ"ל נקבל גם כי <math>p|c\iff p|\overbrace{c\cdot c\cdots c}^n</math> .▼
:<math>p|c^n\iff p|c</math>
קיבלנו ש- <math>p|b</math> וגם <math>p|c</math> , כך שהמחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא עתה <math>p</math> אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. ''סתירה''.▼
 
לפיכך <math>p|b \iff p|\overbrace{b\cdot b\cdots b}^nblacksquare</math> .
 
▲אך מן השוויון <math>ab^n=c^n</math> נובעת גרירה <math>p|c^n\iff p|ab^n</math> . מלֵמַת אוקלידס הנ"ל נקבל גם כי <math>p|c\iff p|\overbrace{c\cdot c\cdots c}^n</math> .
 
▲קיבלנו ש- <math>p|b</math> וגם <math>p|c</math> , כך שהמחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא עתה <math>p</math> אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. ''סתירה''.
 
מסקנה: לא קיים שוויון כזה. <math>\blacksquare</math>
 
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/הוכחות_מתמטיות/שונות/תחום_הגדרת_שורש_טבעי_למספר_טבעי"