מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה שלישית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 102:
לו נכתוב <math>(a\pm bi)(A+B)</math> נוכל לראות שזו תוצאה שלא פותרת את המשוואה. חד וחלק.
==שורשים מרוכבים==
[[קובץ:Complex conjugate picture.svg|שמאל|ממוזער|200px|מספר מרוכב ו"צמוד" שלו]]
עד עתה פיתחנו את נוסחאות הפתרונות. למרבה הצער, לא ברור במבט ראשון כיצד נפתור את בעיית השורש השלישי של מספר מרוכב, <math>\sqrt[3]{p+qi}</math> .
ברור לכולנו כי הותרת הפתרון בצורה כזו אינה שימושית במיוחד.
האם הגענו למבוי סתום?
ובכן, למרבה שמחתנו התשובה שלילית. פיתוח חוקי המספרים המרוכבים משלים את אחרוני ה"חורים" בנוסחאות.
לשם כך, נתחיל להתבונן בהם כ[[w:וקטור (פיזיקה)|וקטורים]] – חצים היוצאים מראשית הצירים ופוגעים בנקודה <math>(p,q)</math> במישור דמוי <math>xy</math> , אשר ערכיה מקבילים לערכים הממשיים של המספר המרוכב.
כלומר, משמעות הביטוי <math>p+qi</math> היא "הליכה" <math>p</math> יחידות על '''הציר הממשי''', ולאחר מכן פניה והליכה <math>q</math> יחידות במקביל '''לציר המדומה''' – בדיוק כתפישתנו את [[w:גאומטריה אנליטית|הגאומטריה האנליטית]] המוכרת לנו זה מכבר.
נביא עתה חוקים אחדים:
*[[w:מערכת צירים קרטזית|הצגה קרטזית]]: <math>z=p+qi</math>
:*חלקים ממשיים ו[[w:מספר מדומה|מדומים]]: <math>\text{Re}(z)=p\ ,\ \text{Im}(z)=q</math>
:*סכום והפרש מרוכבים: <math>z_1\pm z_2=(p_1\pm p_2)+(q_1\pm q_2)i</math>
:*כפל מרוכבים: <math>z_1\cdot z_2=(p_1p_2-q_1q_2)+(p_1q_2-p_2q_1)i</math>
:*גודל מרוכב: <math>|z|=r=\sqrt{p^2+q^2}</math>
::*[[w:אי-שוויון המשולש|אי־שוויון המשולש]]: <math>|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|</math>
::*גודל כפל מרוכבים: <math>|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|</math>
*"צמוד" מרוכב: <math>\bar z=\overline{p+qi}=p-qi</math>
:*"צמוד" סכום והפרש מרוכבים: <math>\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}</math>
:*"צמוד" כפל מרוכבים: <math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>
:*סכום והפרש מרוכב ו"צמוד": <math>z\pm\bar z=(p\pm p)+(q\mp q)i</math>
:*כפל מרוכב ו"צמוד": <math>z\cdot\bar z=r</math>
*[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית|הצגה קוטבית]]: <math>z=(r,\theta)=r\bigl(\cos(\theta)+\sin(\theta)i\bigr)</math>
:*חלקים ממשיים ומדומים: <math>\text{Re}(z)=r\cos(\theta)\ ,\ \text{Im}(z)=r\sin(\theta)</math>
:*[[w:זווית|זוית]] בין המרוכב לציר הממשי (ארגומנט): <math>\theta=\arg(z)=\arctan\left(\frac{q}{p}\right)</math>
:*כפל מרוכבים: <math>z_1\cdot z_2=r_1r_2\Big[\cos(\theta_1+\theta_2)+\sin(\theta_1+\theta_2)i\Big]</math>
:*[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משפט דה-מואבר|משפט דה־מואבר]]: <math>z^n=\Big[r\bigl(\cos(\theta)+\sin(\theta)i\bigr)\Big]^n=r^n\Big[\cos(n\theta)+\sin(n\theta)i\Big]</math>
נסו והוכיחו.
===פתרונות===
נניח בלי הגבלת הכלליות (התוצאה זהה למרוכב ול"צמוד")
:<math>w^n=R^n\bigl(\cos(n\varphi)+\sin(n\varphi)i\bigr)=r\bigl(\cos(\theta)+\sin(\theta)i\bigr)=z</math>
שני מספרים מרוכבים שווים אם ערכיהם המוחלטים שווים, וגם שתי הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות – כלומר מקיימות <math>f(x)=f(x+2\pi)</math> לכל <math>x</math> . לכן
:<math>R^n=r\ ,\ n\varphi=\theta+2\pi k</math>
אם נניח כי <math>\frac{\theta+2\pi k_1}{n},\frac{\theta+2\pi k_2}{n}</math> הם שני פתרונות שונים, נוכל להראות בקלות כי הם יבדלו זה מזה בהפרש <math>2\pi</math> [[w:אם ורק אם|אם ורק אם]] ההפרש בין <math>k_1,k_2</math> מתחלק ב-<math>n</math> ללא שארית.
:<math>\frac{\theta+2\pi k_1}{n}-\frac{\theta+2\pi k_2}{n}=2\pi\ \iff\ k_1-k_2\equiv0\pmod n</math>
<math>n</math> שלם, לכן נקבל כי <math>0\le k\le n-1</math> אינו מבדיל את הפתרונות ב־<math>2\pi</math> . לבסוף
:<math>z_k=\sqrt[k]r\left[\cos\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)+\sin\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)i\right]\ :\ 0\le k\le n-1</math>
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית - משוואות]]
| |||