ויקיספר

תורת הקבוצות/קבוצת החזקה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{תורת הקבוצות}}
דיברנו כבר בעבר על המושג של תת-קבוצה. בפרק זה נראה מה ניתן לומר על קבוצת כל תת-הקבוצותתתי־הקבוצות של קבוצה נתונה.
 
==הגדרה ותכונות בסיסיות==
{{הגדרה|
תוכן=בהינתן קבוצה <math>A</math> , קבוצת החזקה של <math>A</math> מסומנת על-ידיעל־ידי <math>\mathbb{P}(A)</math> או על-ידיעל־ידי <math>2^A</math> (סימון זה יובהר בהמשך ובמהלך הספר נשתמש בסימונים השונים לסרוגין), קבוצת כל הקבוצות החלקיות של הקבוצה <math>A</math> .
:<font size=4><math>\mathbb{P}(A)=\big\{\alpha|:\alpha\subsetsub A\big\}</math></font size=4>}}
 
קל לראות שמתקיים <math>A\in\mathbb{P}(A)</math> וכן <math>\varnothing\in\mathbb{P}(A)</math> . וכן, באופן טריוויאלי אם מתקיים <math>\alpha\subsetsub A</math> אזי מתקיים <math>\alpha\in\mathbb{P}(A)</math> .
 
===דוגמאות===
בהינתן <math>A=\big\{0,1,2\big\}</math> אזי
:<font size=4><math>2^A=\Big\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\Big\}</math></font size=4>
 
;הערה
נשים לב, שכמות האברים בקבוצת החזקה של <math>A</math> הוא בדיוק 2 בחזקת כמות האברים ב-ב־<math>A</math> . טענה זו תוכלל בסעיף הבא, ותהיה לה חשיבות רבה בהמשך כשנדבר על עוצמות.}}
 
==קבוצת החזקה של קבוצה סופית==
כפי שראינו בדוגמאות, קבוצת החזקה של קבוצה <math>A</math> (שאיננה ריקה) תמיד מכילה לפחות 2 אברים (אבר אחד בלבד אם היא הקבוצה הריקה), הקבוצה עצמה והקבוצה הריקה. ברצוננו לגלות כמה אברים יש בקבוצת החזקה של קבוצה סופית. לדבר יש הוכחות רבות, גם מתוך תורת הקבוצות וגם מתוך קומבינטוריקה. ההוכחות הקומבינטורית והאינדוקטיבית הן אלמנטריות, ההוכחה באמצעות עוצמות דורשת ידע מפרק מתקדם יותר בספר זה, ומומלץ לקורא המתחיל לחכות לפני שהוא קורא אותה.
 
{{הגדרה|תוכן=בהינתן קבוצה סופית <math>A=\big\{a_1,\ldots,a_n\big\}</math> בעלת <math>n</math> אברים, נסמן <math>|A|</math> את מספר האברים של הקבוצה.}}
 
{{טענה|תוכן=בהינתן קבוצה סופית <math>A=\big\{a_1,\ldots,a_n\big\}</math> מתקיים כי:
:<font size=4><math>\big|\mathbb{P}(A)\big|=|2^A|=2^{|A|}</math></font size=4>
 
;הוכחה אינדוקטיבית
שורה 31:
כעת, יהי <math>k</math> מספר טבעי כלשהו כך שהטענה נכונה עבור <math>n=k</math> . נראה נכונות הטענה עבור <math>n=k+1</math> .
 
תהי <math>A=\big\{a_1,\ldots,a_{k+1}\big\}</math> קבוצה כלשהי בת <math>k+1</math> אברים. נחלק ל-2ל־2 את תת-הקבוצותתתי־הקבוצות של <math>A</math> : או שהאבר <math>a_{k+1}</math> שייך לקבוצה, או שלא.
 
מספר כל הקבוצות שעבורן <math>a_{k+1}</math> לא שייך לקבוצה הוא <math>2^k</math> לפי הנחת האינדוקציה. ואם נוסיף לכל תת-קבוצהתת־קבוצה כזו את האבר <math>a_{k+1}</math> , אז נקבל פשוט את כל הקבוצות שהאבר הנ"ל כן שייך אליהן. לכן, בסך הכל:
:<font size=4><math>|2^A|=2^k+2^k=2^{k+1}</math></font size=4>
מכאן, מנכונות בסיס וצעד האינדוקציה ועיקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל <math>n</math> . <math>\blacksquare</math>
 
שורה 40:
ההוכחה הזו מניחה ידע קומבינטורי שהקורא יכול לוודא בספר מתאים בנושא, או בקורס במתמטיקה דיסקרטית.
 
טענה 1: מספר האפשרויות לבחור <math>k</math> עצמים שונים בלי חשיבות לסדר, מתוך <math>n</math> עצמים, נתון על-ידיעל־ידי
:<font size=4><math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math></font size=4>
טענה 2: נוסחת הבינום של ניוטון לכל <math>x\in\R</math> מתקיים כי
:<font size=4><math>(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k</math></font size=4>
 
כעת, נשים לב שבהינתן קבוצה סופית <math>A</math> בעלת <math>n</math> אברים, כמות תת-הקבוצותתתי־הקבוצות של <math>A</math> שיש בהן בדיוק <math>k</math> אברים הוא <math>\binom{n}{k}</math> , לכן
:<font size=4><math>|2^A|=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}</math></font size=4>
לכן על-ידי הצבת <math>x=1</math> בנוסחת הבינום של ניוטון, נקבל:
:<font size=4><math>2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=|2^A|</math></font size=4>
<math>\blacksquare</math>
 
שורה 57:
 
נסתכל על הקבוצה <math>\{0,1\}^n</math> . קל להראות שזו אכן הקבוצה המבוקשת. נגדיר את הפונקציה:
:<font size=4><math>f:\{0,1\}^n\to 2^A</math></font size=4>
על־ידי
על-ידי
:<font size=4><math>f(x_1,\ldots,x_n)=\big\{a_k\in A|:x_k\ne0\big\}</math></font size=4>
קל להוכיח שזו אכן פונקציה חח"ע ועל. באופן אינטואיטיבי, <math>f</math> מקבלת מעין "מתכון" שאומר איזה מהאברים להכניס לתת-קבוצה ואיזה לא לפי הסדר של ה-0ה־0 ו-1ו־1 שהיא מקבלת.
 
אם היא מקבלת 1 במקום ה-ה־<math>k</math> , האבר ה-ה־<math>k</math> בקבוצה <math>A</math> נכנס לתת-קבוצהלתת־קבוצה ש-ש–<math>f</math> מחזירה.
 
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/תורת_הקבוצות/קבוצת_החזקה"