מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

מעט הרחבה
(מעט הרחבה)
==מהי פונקציה?==
[[קובץ:Function machine2.svg|150px|שמאל]]
פונקציה מבטאת את היחס שיש בין שני איברים, בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>.
 
*פונקציה דוגמה:מבטאת את היחס שיש בין שני קבוצות בעלות איברים, בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>. לדוגמה, הפונקציה <math>\ y = x+2 </math> מציגה את הקשר בין <math>\ x </math> ל-<math>\ y </math>, לפיו -<math>\ y </math> גדול מ-<math>\ x </math> ב-<math>\ 2 </math>.
 
הקבוצה הראשונה נקראת '''קלט''' כי היא קולטת את המספרים (ערכי ה-<math>\ x </math>) והקבוצה השניה '''פלט''' אשר פולטת את הערכים המתקבלים (ערכי <math>\ y </math>).
כל הפונקציות שבהן נעסוק בספר זה הן '''פונקציות ממשיות''', פונקציות המייצגות יחס בין [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים|מספרים ממשיים]] בלבד,
 
כלומר התחום <math>x\in\mathbb R</math> [המספר <math>x </math> שייך (<math>\in</math>) למספרים ממשיים (<math>\mathbb R</math>)].
כל הפונקציות שבהן נעסוק בספר זה הן '''פונקציות ממשיות''', פונקציות המייצגות יחס בין [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים|מספרים ממשיים]] בלבד, ומסומן <math>x\in\mathbb R</math> [המספר <math>x </math> שייך (<math>\in</math>) למספרים ממשיים (<math>\mathbb R</math>)].
 
==תחום וטווח של פונקציה ==
בחלק זה נגדיר מה הם התנאים המחייבים שיהיו קיימים בין שתי קבוצות בכדי שהיא תחשב פונקציה.
 
כאמור כל פונקציה מקשרת לפחות בין שתי קבוצות של מספרים :
# ה'''תחום''' (מבוטא באמצעות <math>x</math>) - קבוצת המספרים שהפונקציה יכולה לקבל.
# ה'''טווח''' (מבוטא באמצעות <math>y</math>) - קבוצה שמכילה את המספרים שהפונקציה יכולה להחזיר.
 
לא כל יחס בין <math>\ x </math> ל-<math>\ y </math> מייצג פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.
 
'''הגדרת הפונקציה:''' בהינתן קבוצת מספרים, '''פונקציה''' היא כלל (תנאי) שמתאים לכל איבר בקבוצת התחום איבר אחד ויחיד מקבוצת הטווח. במילים אחרות, עבור כל ערך של <math>\ x </math> (תחום) קיים ערך <math>\ y </math> (טווח) אחד ויחיד בלבד אותו הפונקציה מחזירה. כלומר לא יהיו שני ערכי <math>\ y </math> עבור אותו <math>\ x </math>.
 
<gallery>
קובץ:Aplicación no inyectiva no sobreyectiva.svg|פונקציה
קובץ:Injection keine Injektion 1a.svg|לא פונקציה לערך <math>x</math> קיימים שני ערכי <math>y</math>
</gallery>
 
==כלל ההתאמה==
 
===פונקציה פשוטה===
דרך ההצגה לפונקציה פשוטה היא באמצעות משוואה <math>\ y= f \left( x \right) </math>. מצד שמאל של המשוואה כתוב סימון הפונקציה, ובצד ימין כתוב כלל ההתאמה. למשל:לדוגמה, <math>\ y=2x</math>
*<math>\ y=2x</math>
 
בצורת סימון זו נהוג לחשוב על <math>\ y </math> כעל משתנה כמו <math>\ x </math>, אך להבדיל מ-<math>\ x </math>, ערכו של <math>\ y </math> לא נבחר בצורה שרירותית, אלא הוא תלוי בערכו של <math>\ x </math>. מסיבה זו נהוג לכנות את <math>\ x </math> כ'''המשתנהמשתנה הבלתי תלוי''' ואת <math>\ y </math> '''המשתנה התלוי'''.
 
===פונקציה מורכבת===
הרכבת פונקציה מדמה לפונקציה המורכבת משלושה קבוצות:
# קבוצת הקלט - קבוצה הקולטת בתוכה את האיברים.
# קבוצה אמצעית - קבוצה אשר קולטת האברים מקבוצה ראשונה ומבצעת עליהם פעולה משנית .
# קבוצת הפלט - הקבוצה הפולט את האיברים לאחר ביצוע "פקודת הפונקציה".
בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום <math>\ y </math> את האות <math>\ f </math> (קיצור למילה "פונקציה באנגלית - function). ההופעה של <math>\ x </math> בסוגריים פירושה שהפונקציה <math>\ f </math> פועלת על המשתנה <math>\ x </math>.
 
*<math>\ f(x)=2x</math>
 
ניתן להחליף את <math>\ f </math> בכל אות שרוצים. בדרך כלל נעזרים באותיות <math>\ g </math> ו-<math>\ h </math>
דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: <math>\ f_1(x), f_2(x), f_3(x) </math>. למספר המוקטן קוראים '''"האינדקס של f".'''
 
<gallery>
==תחום וטווח של פונקציה ==
קובץ:Function machine5.svg|תיאור התמונה
[[קובץ:Function color example 3.svg|200px|ממוזער|שמאל|פונקציה המתאימה לכל צורה את הצבע שלה]]
קובץ:Example for a composition of two functions.svg|תיאור התמונה
 
</gallery>
 
בחלק הראשון של פרק זה דנו על הרעיון והצגת הרעיון של הפונקציה. בחלק זה נגדיר מה היא פונקציה. עבור כל פונקציה ישנן שתי קבוצות של מספרים :
# ה'''תחום''' (מבוטא באמצעות x) - קבוצת המספרים שהפונקציה יכולה לקבל.
# ה'''טווח''' (מבוטא באמצעות y - קבוצה שמכילה את המספרים שהפונקציה יכולה להחזיר.
 
לא כל יחס בין <math>\ x </math> ל-<math>\ y </math> מייצג פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.
 
'''הגדרת הפונקציה:''' בהינתן קבוצת מספרים, '''פונקציה''' היא כלל (תנאי) שמתאים לכל איבר בקבוצת התחום איבר אחד ויחיד מקבוצת הטווח. במילים אחרות, עבור כל ערך של <math>\ x </math> (תחום) קיים ערך <math>\ y </math> (טווח) אחד ויחיד בלבד אותו הפונקציה מחזירה. כלומר לא יהיו שני ערכי <math>\ y </math> עבור אותו <math>\ x </math>.
 
 
 
 
 
 
==נקודה על הפונקציה==