|
==המישור הקראטזי==
[[קובץ:A plus bi.svg|ממוזער]]
בפרקים הקודמים כבר ראינו כי כל מספר מרוכב (<math>z=a+bi</math>) בנוי מחלק ממשי (<math>\mbox{Re}(z)=a</math>) וחלק מדומה (<math>\mbox{Im}(z)=b</math>).
אםכאשר כןגם <math>a</math> וגם <math>b</math> הם מספרים ממשים (<math>a, b \in R</math>) כלומר ניתן לחשובלחשב על כל מספר מרוכב כעל זוג של מספרים ממשיים. נביא כעת כמה דוגמאות להקבלה זו: ▼ניתן להציג את המספר המרוכב <math>z=a+bi</math> בהצגה האלגברית כאשר ציר ה-<math>x</math> משמש כציר המספרים הממשים ו-<math>y</math> כציר המספרים המספרים המדומים כלומר נייצג את המספר המרוכב כך <math>z=x+yi</math> . ▼
==המישור המרוכב==
בפרקים הקודמים כבר ראינו כי כל מספר מרוכב מאופיין על ידי החלק הממשי והחלק המדומה שלו. נערוך כאן חזרה קצרה על אפיון זה:
*אם <math>z=a+bi</math> אז <math>\mbox{Re}(z)=a</math> הוא החלק הממשי של <math>z</math> , ו- <math>\mbox{Im}(z)=b</math> הוא החלק המדומה שלו.
גם החלק הממשי וגם החלק המדומה שניהם מספרים ממשיים. יתר על כן - החלק הממשי והחלק המדומה מאפיינים לחלוטין את המספר. כלומר, די לדעת מהם החלק הממשי והמדומה של מספר מרוכב כדי לדעת מהו המספר.
▲אם כן, ניתן לחשוב על כל מספר מרוכב כעל זוג של מספרים ממשיים. נביא כעת כמה דוגמאות להקבלה זו:
:<math>
\end{matrix}</math>
▲במילים אחרות ניתן להציג את המספר המרוכב <math>z=a+bi</math> בהצגה האלגברית כאשר ציר ה-<math>x</math> משמש כציר המספרים הממשים ו-<math>y</math> כציר המספרים המספרים המדומים כלומר נייצג את המספר המרוכב כך <math>z=x+yi</math> .
זוגות של מספרים ממשיים אינם זרים למי שלמד [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית|גאומטריה אנליטית]] - ניתן לחשוב על כל נקודה במישור כעל זוג של מספרים ממשיים שמייצגים את הקואורדינאטות שלה על ציר <math>x</math> וציר <math>y</math> .
בדיוק באותה הצורה ניתן יהיה לחשוב על כל מספר מרוכב כעל מספר במישור. כדי לזכור שמדובר על מספרים מרוכבים ולא על המישור האוקלידי הרגיל נהוג לכנות את המישור הזה בתור '''המישור המרוכב''', ולסמן את הצירים שלו לא בתור <math>x,y</math> אלא בתור <math>\mbox{Re,Im}</math> . כלומר, הציר האופקי הוא זה שעליו מודדים את גודל החלק הממשי של המספר, ועל הציר האנכי מודדים את החלק המדומה שלו.
[[קובץ:Complex number illustration.svg|ממוזער]]
הערך המוחלט של מספר מרוכב מרחקו של נקודה מראשית הצירים כלומר <math>|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}</math>.
נרחיב: האנך אל ציר ה-<math>x</math> במעגל היחידה יוצר משולש ישר זווית שצלעותיו <math>a,b</math> ויתרו <math>c</math>.
צורת חשיבה זו על המספרים המרוכבים היא מתקבלת על הדעת. עבור המספרים הממשיים יש לנו אינטואיציה גאומטרית - הם כל המספרים שנמצאים על קו ישר, שאותו אנו מכנים "הישר הממשי". לכן הגיוני לחפש אינטואיציה גאומטרית דומה גם עבור המספרים המרוכבים.
על פי משפט פיתגורס <math>a^2+b^2=c^2</math> ועל כן <math>|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
יתר על כן, הדמיון בין המישור המרוכב למישור האוקלידי הרגיל מעניק לנו דרך לבנות את המספרים המרוכבים מבלי "להמציא" את <math>i</math> . נראה זאת ביתר פירוט בפרק הבא.
ניתן לדבר גם על קבוצות של מספרים מרוכבים ולא רק על מספרים בודדים. בתמונה הבאה של המישור המרוכב, החלק הכהה מסמן את הקבוצה שמכילה את כל המספרים המרוכבים שהן החלק הממשי והן החלק המדומה שלהם הם בין <math>-1</math> ו- <math>1</math> :
[[תמונה:Region on complex plane.PNG|קבוצת מספרים במישור המרוכב]]
==הערך המוחלט - חזרה קצרה==
כעת נשלים חובות שיש לנו בנוגע לערך המוחלט. ראשית נסביר את משמעות הגדרתו, ואחר נדבר על אי שוויון המשולש. חלק זה מיועד להרחבה, וניתן לדלג עליו אל החלק העוסק בהצגה הקוטבית.
כזכור, הערך המוחלט הוגדר כך:
*<math>|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}</math>.
מדוע אנו בוחרים בהגדרה שכזו?
===מהו מרחק?===
ראשית, נצפה שהמרחק יהיה תמיד# מספר ממשי חיובי . זאת מכיון שאורך של קו הוא תמיד מספר ממשי וחיובי. ▼כאשר עוסקים במספרים ממשיים, הערך המוחלט של מספר כלשהו הוא אותו המספר ללא סימן. מטרת ההגדרה הזו היא לייצג את מרחק המספר מנקודת האפס על גבי הישר, אך מהו בעצם מרחק?
שנית, נצפה# שהמרחקמרחק בין שתי נקודות יהיה אפס אם ורק כאשר הוא נמדד מנקודה לעצמה - במקרה כזה אין קו בין שתי הנקודות, כי הן נמצאות באותו מקום. ניתן לומר כי קיים קו "מנוון" בין שתי הנקודות, שאורכו 0אפס. ▼
שלישית,# נצפה שהמרחק מנקודה <math>a</math> לנקודה <math>b</math> יהיה זהה למרחק מנקודה <math>b</math> לנקודה <math>a</math> . זאת מכיון שאורך של קו לא תלוי בשאלה האם אנחנו מותחים אותו מהנקודה הראשונה לשנייה, או מהנקודה השנייה לראשונה. ▼בצורה אינטואיטיבית, מרחק הוא פשוט אורכו של הקו שבין שתי נקודות. אם מקבלים את דרך החשיבה הזו, ננסה לראות מהן התכונות הבסיסיות שאנו מצפים שמרחק יקיים.
# '''אי-שוויון המשולש''' - המרחק שבין שתי נקודות יהיה קטן או שווה ל'''סכום''' המרחקים של שתי הנקודות מנקודת ביניים שלישית. משפט זה מבוסס על צלעות במשולש סכום של שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. כלומר בהינתן שלושה קדקודים, שתי נקודות - <math>a,b</math> והנקודה <math>c</math>. הישר <math>ab</math> קטן מסכום <math>ac+ab</math>. לעומת זאת שוויון יתקיים כאשר הנקודה <math>c</math> תהיה '''על''' הקו שמחבר את <math>a,b</math> ובמקרה זה המשולש שנקבל יהיה בעל שטח אפס.
▲ראשית, נצפה שהמרחק יהיה תמיד מספר ממשי חיובי. זאת מכיון שאורך של קו הוא תמיד מספר ממשי וחיובי.
▲שנית, נצפה שהמרחק בין שתי נקודות יהיה אפס אם ורק כאשר הוא נמדד מנקודה לעצמה - במקרה כזה אין קו בין שתי הנקודות, כי הן נמצאות באותו מקום. ניתן לומר כי קיים קו "מנוון" בין שתי הנקודות, שאורכו 0.
▲שלישית, נצפה שהמרחק מנקודה <math>a</math> לנקודה <math>b</math> יהיה זהה למרחק מנקודה <math>b</math> לנקודה <math>a</math> . זאת מכיון שאורך של קו לא תלוי בשאלה האם אנחנו מותחים אותו מהנקודה הראשונה לשנייה, או מהנקודה השנייה לראשונה.
התכונה הרביעית, שמכונה '''אי-שוויון המשולש''' היא הפחות אינטואיטיבית מבין כל התכונות. היא אומרת דבר כזה: המרחק שבין שתי נקודות יהיה קטן או שווה לסכום המרחקים של שתי הנקודות מנקודת ביניים שלישית.
ננסה להבין זאת באמצעות דוגמה. נניח שאנחנו בתל אביב ורוצים למדוד את המרחק לירושלים. כמובן שנרצה למדוד את המרחק הקצר ביותר, ולשם כך נמדוד את אורך הדרך שנוסעת הישר מתל אביב ועד ירושלים, ולא את הדרך שעוברת מתל אביב לחיפה ומחיפה לירושלים, שהיא בוודאי ארוכה יותר.
במציאות, דבר זה לא תמיד מתקיים. לפעמים יש "קיצורי דרך" שנובעים מכך שהדרך הישירה בין שתי ערים היא מפותלת. אבל כאשר אנו עוסקים בנקודות במישור, ניתן לחשוב כאילו אנו נעים תמיד במעוף הציפור - בקו ישר.
כעת ניתן לראות כיצד נכנס המשולש לתמונה. נניח שיש לנו שתי נקודות - <math>a,b</math> , ואנו מותחים בינן קו. כעת נוסיף נקודה שלישית: <math>c</math> , ונחבר אותה בקווים לנקודות <math>a,b</math> . נקבל משולש.
תכונה ידועה מהגאומטריה האוקלידית היא שבמשולש, סכום של שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. מתכונה זו עולה כי הקו הישר שמחבר את <math>a,b</math> קצר מסכום אורכי הקווים שמחברים את <math>c</math> עם שתי הנקודות. כלומר, מעבר דרך <math>c</math> אינו יכול לשמש כ"דרך קיצור". שוויון יתקיים רק כאשר הנקודה <math>c</math> תהיה '''על''' הקו שמחבר את <math>a,b</math> ובמקרה זה המשולש שנקבל יהיה "מנוון" - שטחו יהיה אפס.
כעת משהסברנו מהו מרחק, נותר לראות שהערך המוחלט שהוגדר עבור מספרים מרוכבים הוא אכן מרחק. בשביל זה די לשים לב להגדרתו:
*הערך המוחלט של מספר מרוכב <math>z</math> הוא אורך הישר שמחבר את הנקודה שמייצגת אותו במישור המרוכב עם ראשית הצירים.
מכיון שכבר ראינו שהמישור המרוכב הוא למעשה דרך אחרת להתבונן על המישור האוקלידי, התכונות מהמישור האוקלידי מתקיימות עבור ההגדרה שלנו. לכן הערך המוחלט של מספר מרוכב הוא מרחקו מאפס והוא מקיים את כל התכונות שניתן לצפות להן ממרחק.
נותר לראות מדוע המרחק של <math>z</math> מראשית הצירים יוצא דווקא <math>\sqrt{a^2+b^2}</math> . תוצאה זו מתקבלת ממשפט פיתגורס: במשולש ישר-זוית שהצלעות המאונכות בו הן <math>a,b</math> והיתר בו הוא <math>c</math> מתקיים <math>a^2+b^2=c^2</math> .
אם נסתכל על נקודה במישור המרוכב נוריד עבורה אנך לציר <math>\mbox{Re}</math> ונחבר אותה עם ראשית הצירים, נראה כי קיבלנו משולש ישר-זוית שהיתר שלו היא הישר שמחבר את הנקודה עם הראשית, ואורך הצלעות המאונכות בו הוא בדיוק החלק הממשי והחלק המדומה של המספר. משפט פיתגורס נותן מיידית את התוצאה המבוקשת.
==ההצגה הקוטבית==
| 