מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
 
שורה 12:
אם כן הייצוג הטריגונומטרי של המספר המרוכב הינו <math>z=r*[(cos\theta+2\pi k), i(sin(\theta+2\pi k)]</math> (לעיתים מקצרים וכותבים <math>z=r*cis \theta+2\pi k)</math>)
 
מאחר שערך הרדיוס מייצג מרחק בערך קבוע <math>r=\sqrt{xa^2+yb^2}</math> ערכו בייצוג זה תמיד חיובי.
 
כמו גם ערך הזווית <math>tan\theta=\frac{y}{x}</math> יכול בתחום <math>0 \le \theta \le 2\pi</math> לקבל שני זוויות. את הזוויות הנכונה קובעים לפי הרביע בו נמצאת הנקודה.
 
==מעבר בין ההצגות הקרטזית והקוטבית==
נניח שנתון לנו מספר מרוכב <math>a+bi</math> , כלומר הקואורדינאטות הקרטזיות שלו במישור המרוכב הן <math>(a,b)</math> . אנחנו רוצים לדעת מהי ההצגה הקוטבית שלו. כיצד נמצא אותה?
 
ראשית, את אורכו של הישר קל לנו למצוא. כזכור, אורך זה הוא בדיוק הערך המוחלט של המספר המרוכב, כלומר <math>\sqrt{a^2+b^2}</math> . לתוצאה זו הגענו על-פי משפט פיתגורס. נהוג לסמן את האורך על-ידי האות <math>r</math> .
 
כדי למצוא את הזוית נצייר את המשולש ששימש אותנו גם בשימוש במשפט פיתגורס. במשולש זה נראה כי טנגנס הזוית שאנו מחפשים הוא בדיוק היחס <math>\frac{b}{a}</math> . לכן הזוית שלנו נתונה על-ידי <math>\tan(\theta)=\frac{b}{a}</math> (בשביל הזוית אנו משתמשים באות היוונית תטא). למשוואה זו יש שני פתרונות שונים בקטע <math>[0^\circ,360^\circ]</math> , וכדי לבחור את הזוית הנכונה אנחנו צריכים לבחור את זו שמתאימה לרביע שבו נמצא המספר שלנו. כזכור מטריגונומטריה, ניתן למצוא את הרביע על-פי הסימנים של <math>a,b</math> :
 
===ערך האוגרמנט===
ערך הזווית <math>tan\theta=\frac{b}{a}</math> יכול בתחום <math>0 \le \theta \le 2\pi</math> לקבל שתי זוויות. את הזוויות הנכונה קובעים לפי הרביע בו נמצאת הנקודה.
*<math>a,b>0</math> - רביע ראשון (<math>[0^\circ,90^\circ]</math>).
*<math>a<0,b>0</math> - רביע שני (<math>[90^\circ,180^\circ]</math>).
שורה 28 ⟵ 21:
*<math>a>0,b<0</math> - רביע רביעי (<math>[270^\circ,360^\circ]</math>).
 
#כאשר <math>a=0, b \ne 0</math> הביטוי <math>\frac{b}{a}</math> אינו מוגדר.
בעיה יכולה להתעורר כאשר <math>a=0</math> , כי הרי אז הביטוי <math>\frac{b}{a}</math> אינו מוגדר. נשים לב כי אם <math>a=0</math>, הישר שלנו הוא אנכי, ולכן הזויות שהוא יוצר היא של <math>90^\circ</math> במקרה שבו כיוונו הוא כלפי מעלה, כלומר <math>b>0</math> , ושל <math>270^\circ</math> כאשר <math>b<0</math> . במקרה שבו גם <math>a=0</math> וגם <math>b=0</math> (כלומר המספר המרוכב שלנו הוא 0) נהוג להותיר את הזוית בלתי-מוגדרת.
# כאשר הישר כלפי מעלה <math>a=0 b>0</math> הישר שלנו הוא אנכי ולכן הזויות שהוא יוצר היא של <math>90^\circ</math>
 
# כאשר <math>a=0 b<0</math> הזווית היא <math>270^\circ</math>.
 
# במקרה שבו גם <math>a=0</math> וגם <math>b=0</math> נהוג להותיר את הזוית בלתי-מוגדרת.
כיצד ניתן לבצע את המעבר ההפוך? כלומר, בהינתן <math>(r,\theta)</math> כיצד נעבור ל- <math>(x,y)</math> ? גם כאן די בטריגונומטריה בסיסית. נצייר שוב את המשולש שלנו ונראה כי מתקיים:
:<math>x=r\cos\theta</math>
:<math>y=r\sin\theta</math>
 
כלומר, המעבר בכיוון השני הוא פשוט עוד יותר.
 
בהתבסס על נוסחאות אלו, אם נתון לנו המספר המרוכב <math>z=a+bi</math> וחישבנו את הזווית והאורך שלו, ניתן לכתוב אותו כך:
 
:<math>z=r\cos(\theta)+i\cdot r\sin(\theta)=r\cdot\Big[\cos(\theta)+i\sin(\theta)\Big]</math> .
 
נהוג לסמן בקיצור:
 
<math>\cos(\theta)+i\sin(\theta)=\mbox{cis}(\theta)</math> .
 
ולכן מספר מרוכב יכול להיכתב בקיצור בצורה קוטבית על-ידי:
 
<math>z=r\cdot\mbox{cis}(\theta)</math> .
 
להצגה הקוטבית יש שימושים רבים. בפרט, היא מאפשרת לבצע בצורה נוחה מאוד פעולות של כפל, חילוק, העלאה בחזקה והוצאת שורשים במספרים מרוכבים. נראה זאת בפרק הבא. עם זאת, יש לה גם חסרונות: חיבור וחיסור הרבה פחות קלים לביצוע בצורה זו.
 
את הזוית נהוג לכנות לפעמים בתור '''הארגומנט''' של המספר המרוכב, אולם כאן חבויה בעיה בשימוש בה' הידיעה, שכן למספר מרוכב יש למעשה אינסוף זויות שמתאימות לו. זאת מכיוון שפונקציות הסינוס והקוסינוס הן מחזוריות, וכל 360 מעלות הן חוזרות על עצמן. מכאן שאם למספר מרוכב מתאימה זוית כלשהי, גם כל זוית אחרת שהתקבלה על ידי חיבור או חיסור כפולות של 360 מעלות תיתן את אותן התוצאות בדיוק. על כן בוחרים בתור '''ה'''ארגומנט את הזוית שנמצאת בתחום שבין 0 ל- 360 מעלות.
 
==נוסחת אוילר==
חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות.
 
למספר <math>e=2.7183\dots</math> המכונה '''בסיס הלוגריתם הטבעי''' יש חשיבות רבה במתמטיקה, והוא מופיע בהקשרים שונים ומשונים. בחלק זה נלמד על אחד מהקשרים אלו.
 
הפונקציה <math>f(x)=e^x</math> מתאימה לכל מספר ממשי את <math>e</math> מועלה בחזקה שלו. באופן טבעי עולה השאלה: מה יקרה אם במקום מספר ממשי <math>x</math> נשתמש במספר מרוכב? כלומר, לכמה שווה <math>e^{a+bi}</math> ?
 
ממבט ראשון השאלה עלולה להיראות חסרת פשר. לא ברור איזו משמעות ניתן לייחס למעריך שהוא מספר מרוכב. עם זאת, אין זה אומר שלא ניתן למצוא משמעות שכזו. כדאי לזכור כי גם <math>e^\sqrt2</math> אינה חזקה שאנו רגילים לה באלגברה הבסיסית, בה אנחנו עובדים עם חזקות שהן מספרים רציונליים בלבד.
 
אחת התגליות החשובות שגילה המתמטיקאי לאונרד אוילר (מהמתמטיקאים הפורים ביותר בכל הזמנים) היתה המשמעות של אותה חזקה. מתברר כי מתקיימת הנוסחה הבאה:
 
:<math>e^{\theta i}=\cos({\theta})+i\sin({\theta})</math>
 
נוסחה זו נקראת '''נוסחת אוילר'''.
 
הוכחת נוסחה זו דורשת ידע ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] ובפרט בתחום העוסק ב[[טור טיילור|טורי טיילור]]. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדויקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.
 
מהנוסחה עולה כי <math>e</math> בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב. מהנוסחה עוד עולה כי ניתן לתאר כל מספר הנתון בהצגה קוטבית בתור חזקה של <math>e</math> :
 
:<math>r\cdot\Big[\cos({\theta})+i\sin({\theta})\Big]=r\cdot e^{\theta i}</math> .
 
נוסחה זו קצרה יותר לכתיבה מאשר הנוסחה שמכילה את הפונקציות הטריגונומטריות, ולכן לרוב מעדיפים להשתמש בה. כמו כן, מהנוסחה הזו יותר ברורות תכונות הכפל, החילוק והחזקה שאותן נראה בפרק הבא.
 
בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של <math>e</math> עבור מספר מרוכב שנתון בצורה <math>a+bi</math> :
 
:<math>e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a\cdot\mbox{cis}(b)</math>
 
כלומר, <math>e</math> בחזקת המספר <math>a+bi</math> הוא מספר מרוכב שאורכו <math>e^a</math> והזוית שלו עם הכיוון החיובי של ציר <math>x</math> היא <math>b</math> . הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של <math>e</math> עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר <math>b=0</math> נקבל את המספר הממשי <math>e^a</math> .
 
מקרה פרטי של השימוש בנוסחת אוילר הוא כאשר <math>\theta=\pi</math> . במקרה זה נקבל:
 
:<math>e^{\pi i}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1</math>.
 
על-ידי העברת אגפים נקבל את הזהות:
 
:<math>e^{\pi i}+1=0</math> .
 
זהות זו מכונה '''זהות אוילר''' ונחשבת בעיני רבים לאחת מהזהויות היפות במתמטיקה. היא קושרת יחד חמישה מהמספרים הבסיסיים ביותר במתמטיקה: <math>0</math> , שהוא המספר הנייטרלי ביחס לחיבור, <math>1</math> שהוא המספר הנייטרלי ביחס לכפל, <math>\pi</math> שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, <math>e</math> ו- <math>i</math> .
 
 
===הוכחה===
בחלק זה נראה את רעיון ההוכחה של נוסחת אוילר. ההוכחה מתבססת על התכונה <math>i^2=-1</math> ועל טור הטיילור של הפונקציות <math>e^x,\sin(x),\cos(x)</math> .
 
טור טיילור הוא מושג השייך לתחום החשבון האינפיניטסימלי. טור טיילור של פונקציה כלשהי בנקודה מסויימת הוא סכום אינסופי של מספרים, כך שככל שמסכמים בו יותר מספרים, הסכום הולך ומתקרב למספר שהוא הערך של הפונקציה בנקודה הזו.
 
למשל, טור הטיילור של <math>e^x</math> הוא זה:
 
:<math>e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots</math>
 
האבר הימני ביותר בטור, זה שבו מופיע <math>n</math> , נקרא '''האבר הכללי''' של הטור. כל אבר בטור הוא מהצורה של האבר הכללי, עבור ערכים שונים של <math>n</math> , כאשר <math>n</math> הוא מספר טבעי או אפס. נסו להציב את הערכים <math> n=0,1,2,3,4</math> ותראו שאתם אכן מקבלים את האברים הראשונים בטור.
 
כעת נסו להציב <math>x=1</math> והתחילו לחבר את אברי הטור. תראו כי הסכום שאתם מקבלים הולך ומתקרב לערכו של <math>e</math> . ככל שתחברו יותר אברים כך תגדל רמת הדיוק שלכם, עד שלבסוף תעברו את הדיוק של מחשבוני כיס. אכן, אחת הדרכים שבה מחשבון יכול לחשב ערכים של פונקציות היא באמצעות טור הטיילור שלהן. כיון שהטור הוא אינסופי התוצאה שתתקבל לא תהיה מדויקת - אבל עבור פונקציות רבות, ניתן להשתמש בטורי טיילור שלהן כדי לקבל תוצאה שקרובה לערך האמיתי בכל רמת דיוק שנרצה.
 
טור טיילור יכול לשמש ליותר מאשר מציאת קירובים. כעת נראה כיצד משתמשים בו כדי להוכיח את זהות אוילר.
 
ראשית נציג את טורי טיילור של פונקציות הסינוס והקוסינוס:
 
:<math>\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math>
 
:<math>\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math>
 
קרוב לודאי שאתם שמים לב לדמיון בין הטור של <math>e^x</math> לטורים של סינוס וקוסינוס. קשר זה אינו מקרי, כמובן.
 
כעת נראה מה קורה כאשר אנו מציבים בטור של <math>e^x</math> מספר מרוכב - כלומר, נציב <math>x=i\theta</math> . נקבל:
 
:<math>{e^{\theta i}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(5i)^5}{5!}+\cdots=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}+\cdots=}</math>
 
:<math>=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\dots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\dots\right)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)</math>
 
{{להשלים}}
וכך קיבלנו את הנוסחה.
דוגמה למעבר מקרטזית לטריגונומטרית ולהפך.
 
ההוכחה שלנו אינה מלאה, וחסרות לנו הצדקות לחלק מהמעברים שביצענו. בפרט המעבר שבו פירקנו את הטור שלנו לשני טורים שונים תוך שאנו משנים את סדר הסכימה דורש הצדקה. הצדקה זו שייכת לתחומי החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה המרוכבת, שאיננו נכנסים אליהם כאן.
{{תוכן
|הפרק הבא=[[../משפט דה-מואבר/]]