מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/נוסחת אוילר: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מתוך מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות עד.▼
==נוסחת אוילר==▼
▲חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות.
למספר <math>e=2.7183\dots</math> המכונה '''בסיס הלוגריתם הטבעי''' יש חשיבות רבה במתמטיקה, והוא מופיע בהקשרים שונים ומשונים. בחלק זה נלמד על אחד מהקשרים אלו.
שורה 8 ⟵ 7:
ממבט ראשון השאלה עלולה להיראות חסרת פשר. לא ברור איזו משמעות ניתן לייחס למעריך שהוא מספר מרוכב. עם זאת, אין זה אומר שלא ניתן למצוא משמעות שכזו. כדאי לזכור כי גם <math>e^\sqrt2</math> אינה חזקה שאנו רגילים לה באלגברה הבסיסית, בה אנחנו עובדים עם חזקות שהן מספרים רציונליים בלבד.
▲===נוסחת אוילר===
אחת התגליות החשובות שגילה המתמטיקאי לאונרד אוילר
:<math>e^{\theta i}=\cos({\theta})+i\sin({\theta})</math>
הוכחת נוסחה זו דורשת ידע ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] ובפרט בתחום העוסק ב[[טור טיילור|טורי טיילור]]. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדויקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.
===מהות נוסחת אוילר===
מהנוסחה עולה כי <math>e</math> בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב.
כמו גם שניתן לתאר כל מספר הנתון בהצגה טריגונומטרית גם בתור חזקה של <math>e</math> באמצעות הנוסחה:
:<math>r\cdot\Big[\cos({\theta})+i\sin({\theta})\Big]=r\cdot e^{\theta i}</math> .
:: נוסחה זו קצרה יותר לכתיבה מאשר ההצגה הקוטבית ולכן לרוב מעדיפים להשתמש בה.
:: קל לשימוש - מהנוסחה הזו יותר ברורות תכונות הכפל, החילוק והחזקה שאותן נראה בפרק הבא.
בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של <math>e</math> עבור מספר מרוכב
▲בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של <math>e</math> עבור מספר מרוכב שנתון בצורה <math>a+bi</math> :
:<math>e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a\cdot\mbox{cis}(b)</math>
כלומר, <math>e</math> בחזקת המספר <math>a+bi</math> הוא מספר מרוכב שאורכו <math>e^a</math> והזוית שלו עם הכיוון החיובי של ציר <math>x</math> היא <math>b</math> .
הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של <math>e</math> עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר <math>b=0</math> נקבל את המספר הממשי <math>e^a</math> .
===זהות אוילר (<math>e^{\pi i}</math>) ===
מקרה פרטי של השימוש בנוסחת אוילר הוא כאשר <math>\theta=\pi</math> . במקרה זה נקבל:
שורה 36 ⟵ 40:
:<math>e^{\pi i}+1=0</math> .
זהות זו
בחלק זה נראה את רעיון ההוכחה של נוסחת אוילר. ההוכחה מתבססת על התכונה <math>i^2=-1</math> ועל טור הטיילור של הפונקציות <math>e^x,\sin(x),\cos(x)</math> .
| |||