מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Cat-a-lot: העביר מקטגוריה:אלגברה תיכונית לקטגוריה:אלגברה תיכונית - משוואות |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
לפני שנתחיל עלינו להגדיר כמה מושגים בסיסיים ולהדגיש את הרעיון הבסיסי של משוואות בכמה נעלמים. נגדיר ראשית ש-'''מערכת משוואות''' היא קבוצה של משוואות אשר כולן '''אמת'''. במילים אחרות מילת הקישור בניהן היא '''וגם'''.
מערכת משוואות תקרא '''שקולה''' למערכת אחרת אם לשתיהן יש בדיוק את אותם פתרונות (או אף פתרון) בו זמנית. אם למשל מערכת משוואות <math>A</math> שקולה למערכת משוואות <math>B</math> זה יסומן כך: <math>A\iff B</math> ונאמר
====שיטת ההצבה====
שיטת ההצבה היא השיטה הבסיסית ביותר והשימושית ביותר. נתחיל בדוגמה:
בשיטת ההצבה עלינו '''לבודד''' את אחד הנעלמים, למשל את <math>x</math> . ננסה לבודד אותו ממשואה <math>(I)</math> . כאשר אנו עובדים על משוואה <math>(I)</math> עלינו להדגיש זאת. ולכן נכתוב:{{ש}}
מתוך <math>(I)</math> מתקבל
:<math display=block>\begin{matrix}2x+4y=3\quad/-4y\\\\2x=3-4y\quad\Big/\cdot\frac12\\\\x=\dfrac{3-4y}{2}\end{matrix}</math>
כעת קיבלנו את <math>x</math> לפי <math>y</math> כלומר קיבלנו קשר מתמטי בין שני הנעלמים. הפעולה שעשינו כרגע נקראת '''בידוד נעלם'''. במקרה זה בודדנו את <math>x</math> . לא סיימנו מכיון שעדיין לא מצאנו מה בדיוק הערך של <math>y</math> .
:<math display=block>\begin{matrix}3x-7y=-1\\\\\Downarrow\\\\3\left(\dfrac{3-4y}{2}\right)-7y=-1\end{matrix}</math>
▲כעת קיבלנו את <math>x</math> לפי <math>y</math> כלומר קיבלנו קשר מתמטי בין שני הנעלמים. הפעולה שעשינו כרגע נקראת '''בידוד נעלם'''. במקרה זה בודדנו את <math>x</math> . לא סיימנו מכיון שעדיין לא מצאנו מה בדיוק הערך של <math>y</math> . על-מנת לעשות זאת עלינו '''להציב''' את <math>x</math> במשוואה השניה במקום <math>x</math> המקורי. נשים לב שאם נעשה זאת מיד נקבל משוואה חדשה בנעלם אחד <math>y</math> .
המעבר האחרון הוא '''הצבה''' של <math>x</math> במשוואה השניה. כעת ניתן לפתור את המשוואה הזו ללא קושי, כי היא משוואה בנעלם אחד.
:<math display=block>\begin{matrix}
\end{matrix}</math>
וזו התשובה של נעלם אחד, כלומר קיבלנו את הערך של <math>y</math> . כעת נציב במשוואה כלשהי את הערך של <math>y</math> אשר חישבנו ונקבל שוב משוואה בנעלם אחד, רק שהפעם היא עבור <math>x</math> . כיון שכבר בודדנו את <math>x</math> לפי <math>y</math> מספיק להציב בביטוי שקיבלנו <math>y=\frac{11}{26}</math> ונקבל:
ולאחר חישוב מקבלים <math>x=\frac{17}{26}</math> . על-מנת לבדוק את הנכונות של הפתרון יש להציב את התוצאות במשוואות שלנו. אם מקבלים פסוק אמת בשתיהן, אנו יכולים להיות בטוחים שהתוצאה שקבלנו היא אכן פתרון.
====חיבור וחיסור, כפל וחילוק משוואות====
כשמופיעים לנו בשתי משוואות שני אברים דומים כדאי לעתים לחבר או לחסר את המשוואות אחת מהשניה. הפעולה הזו היא פעולה מותרת מכיוון שההנחה הבסיסית של המשוואות היא ששני אגפי המשוואה הם '''אותו מספר''' ולכן פעולה של חיבור או חיסור משוואות שקולה לחיבור או חיסור שני האגפים במספר.
נחסר <math>(I)-(II)</math> ונקבל
:<math display=block>\begin{matrix}
▲<math>\Updownarrow</math>
\end{matrix}</math>
▲<math>\Updownarrow</math>
▲<math>\begin{cases}(I)&11y&=&4\\(II)&2x-7y&=&-1\end{cases}</math>
מכאן ניתן בקלות להמשיך בשיטת ההצבה לאחר שנסיים לבודד את <math>y</math> מתוך המשוואה הראשונה.
שורה 65 ⟵ 41:
פעולת גאוס היא פשוט הכפלה של שורה אחת (כלומר משוואה אחת) במספר קבוע, וחיבור עם משוואה אחרת. הפעולה טובה במיוחד כאשר יש לנו משוואה אחת אשר אחד הנעלמים שלה בא עם מקדם של 1 (אם כי ברור שתמיד ניתן להפוך את אחת המשוואות למשוואה שאחד המקדמים הוא 1). נדגים שימוש בפעולת גאוס על מערכת משוואות בת 3 נעלמים ו-3 משוואות.
:<math display=block>\begin{matrix}
▲<math>\Updownarrow</math>
▲<math>\Updownarrow</math>
\end{matrix}</math>
▲<math>\begin{cases}(I)&x&-5y&+3z&=&4\\(II)&&8y&-11z&=&-13\\(III)&2x-2x&-y+10y&-5z-6z&=&1-8\end{cases}</math>
▲<math>\Updownarrow</math>
▲<math>\begin{cases}(I)&x&-5y&+3z&=&4\\(II)&&8y&-11z&=&-13\\(III)&&9y&-11z&=&-7\end{cases}</math>
נשים לב שכעת, המשוואות <math>(II),(III)</math> מהוות מערכת משוואות בשני נעלמים. אם נפתור אותה, נוכל להציב את <math>y,z</math> במשוואה הראשונה ונקבל את הפתרון עבור <math>x</math> ובזה נפתור את כל המערכת. כלומר, שיטה זו נועדה לפתור מערכת גדולה של משוואות לינאריות. ניתן כמובן להשתמש בה גם במצבים אחרים.
| |||