ויקיספר

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
;משפט
אם <math>\lim_{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim_{x\to a}g(x)=M\ne 0</math> , אז <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)}=\frac{L}{M}</math> .
 
;הוכחה
יש להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|<\varepsilon</math> . על-ידיעל־ידי מכנה משותף נקבל:
:<math display=block>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}+\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}\right|+\left|\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\frac{|M|\!\cdot\Big!\bigl|f(x)-L\Bigbigr|+|L|\!\cdot\Big!\bigl|g(x)-M\Bigbigr|}{|M|\!\cdot\Big!\bigl|g(x)\Bigbigr|}</math>▼
<math display=block>
▲\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}+\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}\right|+\left|\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}
</math>
 
קיים <math>A>0</math> כלשהו כך שמתקיימים המקרים <math>|L|<A</math> וגם <math>|M|<A</math> .
:<math display=block>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\!\cdot\Big!\bigl|f(x)-L\Bigbigr|+|L|\!\cdot\Big!\bigl|g(x)-M\Bigbigr|}{|M|\!\cdot\Big!\bigl|g(x)\Bigbigr|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\Bigbigl|f(x)-L\Bigbigr|+\Bigbigl|g(x)-M\Bigbigr|}{\Bigbigl|g(x)\Bigbigr|}</math>▼
<math display=block>
*קיים <math>\delta_2delta_1>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_2delta_1</math> מתקיים <math>\Bigbigl|g(x)-M\Bigbigr|<\tfracfrac{|M^2|}{4A2}\varepsilon</math> . מכאן:▼
▲\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\Big|f(x)-L\Big|+\Big|g(x)-M\Big|}{\Big|g(x)\Big|}
:<math display=block>|M|=\biggBig|M-g(x)+g(x)\biggBig|\ {\color{red}\le}\ \Bigbigl|g(x)-M\Bigbigr|+\Bigbigl|g(x)\Bigbigr|\ {\color{red}<}\ \frac{|M|}{2}+\Bigbigl|g(x)\Bigbigr|\quad\implies\quad\Bigbigl|g(x)\Bigbigr|\ {\color{red}>}\ |M|-\frac{|M|}{2}=\frac{|M|}{2}\quad\implies\quad\frac{1}{\Bigbigl|g(x)\Bigbigr|}<\frac{2}{|M|}</math>▼
</math>
*קיים <math>\delta_3delta_2>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_3delta_2</math> מתקיים <math>\Bigbigl|g(x)-M\Bigbigr|<\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon</math> .▼
 
*קיים <math>\delta_1delta_3>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_1delta_3</math> מתקיים <math>\Bigbigl|g(x)-M\Bigbigr|<\fractfrac{|M|^2}{24A}\varepsilon</math> . מכאן:
<math display=block>
▲|M|=\bigg|M-g(x)+g(x)\bigg|\ {\color{red}\le}\ \Big|g(x)-M\Big|+\Big|g(x)\Big|\ {\color{red}<}\ \frac{|M|}{2}+\Big|g(x)\Big|\quad\implies\quad\Big|g(x)\Big|\ {\color{red}>}\ |M|-\frac{|M|}{2}=\frac{|M|}{2}\quad\implies\quad\frac{1}{\Big|g(x)\Big|}<\frac{2}{|M|}
</math>
 
▲*קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>\Big|g(x)-M\Big|<\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon</math> .
 
▲*קיים <math>\delta_3>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_3</math> מתקיים <math>\Big|g(x)-M\Big|<\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon</math> .
 
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> . לפיכך,
:<math display=block>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\!\cdot\Big!\bigl|f(x)-L\Bigbigr|+|L|\!\cdot\Big!\bigl|g(x)-M\Bigbigr|}{|M|\!\cdot\Big!\bigl|g(x)\Bigbigr|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\Bigbigl|f(x)-L\Bigbigr|+\Bigbigl|g(x)-M\Bigbigr|}{\Bigbigl|g(x)\Bigbigr|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{2}{|M|}\cdot\left(\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon+\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon\right)=\varepsilon</math>▼
<math display=block>
▲\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\Big|f(x)-L\Big|+\Big|g(x)-M\Big|}{\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{2}{|M|}\cdot\left(\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon+\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon\right)=\varepsilon
</math>
<math>\blacksquare</math>
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/הוכחות_מתמטיות/חשבון_אינפיניטסימלי/גבולות,_סדרות_ורציפות/גבולות/גבול_של_מנה"