הוכחות מתמטיות/שונות/שורש 2: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
==טענה==
<u>טענה</u>: המספר <math>\sqrt2</math> אינו רציונלי, כלומר <math>\sqrt2\not\in\Q</math> .
 
הוכחה: לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):
 
====למת עזר: אם n² זוגי אזי n זוגי====
''הוכחת הלמה'':{{ש}}
מכפלת מספר זוגי במספר זוגי היא זוגית, בעוד שמכפלת מספר אי־זוגי במספר אי־זוגי היא אי־זוגית, ולכן אם מכפלת מספר בעצמו היא זוגית – המספר זוגי, ולהפך.
 
===הוכחת הטענה===
<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה כי <math>\sqrt2\in\Q</math> , כלומר רציונלי,. ונגיעלכן לסתירה:ניתן לכתוב <math>\sqrt2=\frac{m}{ש}n}</math> עבור <math>m,n\in\Z</math> שלמים זרים כלשהם.
 
<math>\Leftarrow\sqrt2\in\Q</math> ניתן לכתוב את <math>\sqrt2</math> כשבר מצומצם (מהגדרת <math>\Q</math>), כלומר: <math>\sqrt2=\frac{m}{n}\ (*)</math> עבור <math>m,n</math> שלמים כלשהם.{{ש}}
נעלה כעת את הביטוי (*) בריבוע. נקבל:ונקבל
:<math>(\sqrt2)^2 =begin{align}2=\left(\fracdfrac{m}{n}\right)^2=\fracdfrac{m^2}{n^2}\\2n^2=m^2\end{align}</math> .
לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל לכתוב <math>m=2p</math> עבור <math>p\in\Z</math> . מכאן
<math>(**)\ 2n^2=m^2\Leftarrow</math>
:<math>\begin{matrix}2n^2=(2p)^2\\2n^2=4p^2\\n^2=2p^2\end{matrix}</math>
<math>m^2\Leftarrow</math> מספר זוגי
<math>m\Leftarrow</math> מספר זוגילכן (לפי הלמה) <math>\Leftarrow</math>הנ"ל נוכל גם לכתוב: <math>mn=2p2q</math> (עבור <math>pq\in\Z</math> מסויים).{{ש}} מכאן
:<math>\begin{matrix}(2q)^2=2p^2\\4q^2=2p^2\\2q^2=p^2\end{matrix}</math>
כעת, נרשום את הביטוי האחרון (**) באופן הבא: <math>2n^2=m^2=(2p)^2=4p^2</math>
מכאן <math>m,n</math> זוגיים בניגוד להנחה הראשונה כי שניהם זרים. סתירה!
<math>\not 2n^2=_2\not 4p^2\Leftarrow</math>
 
<math>n^2=2p^2\Leftarrow</math>
לכן <math>n^2\Leftarrowsqrt2</math> אינו מספר זוגירציונלי.
 
<math>n\Leftarrow</math> מספר זוגי! (לפי הלמה).{{ש}}
<math>n^2=2p^2\Leftarrowblacksquare</math>
<u>''אבל''</u>: הסקנו מוקדם יותר ש- <math>m</math> הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- <math>n</math> הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- <math>\frac{m}{n}</math> שבר מצומצם! <math>\sqrt2\Leftarrow</math> אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה.
 
==משפט קיום==