הוכחות מתמטיות/שונות/שורש 2: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 31:
זו קבוצה לא־ריקה (כי <math>0,1\in A</math>) וחסומה מלמעלה על־ידי 2 (כי לכל <math>t>2</math> מתקיים <math>t^2>4>2</math>).
לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון
*נניח בשלילה כי <math>a^2<2</math> .
:מתקיים <math>a<\frac2a=b</math> . נגדיר [[w:ממוצע חשבוני|ממוצע חשבוני]] <math>y=\frac{a+b}{2}</math> . לכן <math>a<y<b</math> .
:על־פי [[w:אי-שוויון הממוצעים|אי־שוויון הממוצעים]] מתקיים <math>y^2>ab=2</math> . נהפוך את אי־השוויון ונכפיל ב־4 ונקבל <math>\left(\frac2y\right)^2=\frac{4}{y^2}<\frac42=2</math> .
:לכן <math>\frac2y\in A</math> . אבל <math>\frac2y>\frac2b=a</math> אף שהנחנו כי <math>a</math> חסם עליון
*נניח בשלילה כי <math>a^2>2</math> .
:מתקיים <math>a>\frac2a=b</math> . נגדיר <math>y</math> כנ"ל. לכן <math>b<y<a</math> .
:כנ"ל
:לכן <math>x<y<a</math> . כלומר <math>y</math> חסם מלמעלה של <math>A</math> , אף שהנחנו כי <math>a</math> חסם עליון
לכן <math>a^2=2</math> .
| |||