ויקיספר

חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמת
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
שורה 1:
'''אינטגרל מוכלל''' (או '''אינטגרל לא-אמיתילא־אמיתי''') הנו הכללה של האינטגרל המסוים (רימאן) לקטעים לא-חסומיםלא־חסומים ופונקציות לא-חסומותלא־חסומות.
 
;דוגמא
חשב את האינטגרל <font size=5><math>\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}</math></font size=5>
<font size=5>:<math>\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{-1}^1=-\frac11-\left(-\frac1frac{1}{(-1)}\right)=-2</math></font size=5>▼
 
▲<font size=5><math>\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{-1}^1=-\frac11-\left(-\frac1{(-1)}\right)=-2</math></font size=5>
 
;הסבר
מה קרה?! הרי הפונקציה <math>\frac1frac{1}{x^2}</math> הנה חיובית בכל תחום הגדרתה, ואינטואיטיבית היינו צריכים לקבל שטח חיובי. היכן טעינו?
 
טעינו בכמה דברים. הפונקציה לא-רציפהלא־רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> וגם הגבול <math>\lim_{x\to0}\frac1frac{1}{x^2}</math> לא קיים, כלומר הפונקציה אינה חסומה.
 
==אינטגרלים מוכללים בקטעים לא-חסומים==
תהי <math>f:[a,\infty)\to\R</math> פונקציה המקיימת אינטגרביליותאינטגרבילית בקטע <math>[a,M]</math> לכל <math>M>a</math> .
 
נגדיר: <font size=5><math>\int\limits_a^\infty f(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_a^M fMf(x)dx</math></font size=5> בתנאי שהגבול קיים (וסופי). אם הגבול אינו קיים אזי האינטגרל מתבדר.
 
באופן דומה נגדיר: <font size=5><math>\int\limits_{-\infty}^a faf(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_{-M}^a faf(x)dx=\lim_{M\to-\infty}\int\limits_M^a f(x)dx</math></font size=5>
 
===דוגמאות===
שורה 23 ⟵ 22:
 
הפונקציה רציפה בקטע זה, ולכן אינטגרבילית בקטע <math>[1,M)</math> . נקבל:
<font size=5>:<math>\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{M\to\infty}\int\limits_1^M\frac{dx}{x^2}=\lim_{M\to\infty}-\frac1x\Bigg|_1^M=\lim_{M\to\infty}\left[-\frac1M+\frac11\right]=1</math></font size=5>▼
 
▲<font size=5><math>\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{M\to\infty}\int\limits_1^M\frac{dx}{x^2}=\lim_{M\to\infty}-\frac1x\Bigg|_1^M=\lim_{M\to\infty}\left[-\frac1M+\frac11\right]=1</math></font size=5>
 
;דוגמא 2
שורה 30 ⟵ 28:
 
הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע <math>[0,M)</math> . נקבל:
<font size=5>:<math>\int\limits_0^\infty e^{-x}dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_0^M eMe^{-x}dx=\lim_{M\to\infty}-e^{-x}\Bigg|_0^M=\lim_{M\to\infty}\Big[-e^{-M}+e^{-0}\Big]=1</math></font size=5>
 
;דוגמא 3
שורה 36 ⟵ 34:
 
הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע <math>[0,M)</math> . נקבל:
<font size=5>:<math>\int\limits_0^\infty \cos(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_0^M \cos(x)dx=\lim_{M\to\infty}\sin(x)\Bigg|_0^M=\lim_{M\to\infty}\Big[\sin(M)-\sin(0)\Big]=\lim_{M\to\infty}\sin(M)</math></font size=5>▼
 
▲<font size=5><math>\int\limits_0^\infty \cos(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_0^M \cos(x)dx=\lim_{M\to\infty}\sin(x)\Bigg|_0^M=\lim_{M\to\infty}\Big[\sin(M)-\sin(0)\Big]=\lim_{M\to\infty}\sin(M)</math></font size=5>
 
אך הגבול באינסוף לא קיים, ולכן האינטגרל מתבדר.
 
 
*אם האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, אזי לכל <math>b>a</math> מתקיים <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx=\int\limits_a^b fbf(x)dx+\int\limits_b^\infty f(x)dx</math>
*תהי <math>f:\R\to\R</math> פונקציה אינטגרבילית בכל קטע סגור. אם קיים <math>a</math> כך ש-עבורו <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>,\int\limits_{-\infty}^a faf(x)dx</math> מתכנסות, אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- ב־<math>\R</math> ומתקיים <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int\limits_{-\infty}^a faf(x)dx+\int\limits_a^\infty f(x)dx</math>
 
==אינטגרלים מוכללים של פונקציות לא-חסומותלא־חסומות==
תהי <math>f:[a,b)\to\R</math> פונקציה לא-חסומה.
 
נגדיר: אם מתקיים <math>f</math> אינטגרבילית בקטע הסגור <math>[a,t]\subset[a,b)</math> , אזי <math>\int\limits_a^b fbf(x)dx=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t ftf(x)dx</math> בתנאי שהגבול קיים.
 
עבור המקרה <math>(a,b]</math> נגדיר <math>\int\limits_a^b fbf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int\limits_t^b fbf(x)dx</math> בתנאי שהגבול קיים.
 
אם קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> בה <math>f</math> לא חסומה, אזי <math>\int\limits_a^b fbf(x)dx=\lim_{t_1\to c^-}\int\limits_a^{t_1}f(x)dx+\lim_{t_2\to c^+}\int\limits_{t_2}^b fbf(x)dx</math> בתנאי שגבולות האינטגרלים בצד ימין קיימים.
 
===דוגמאות===
;דוגמא 1
חשב את האינטגרל של הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt x}</math> בקטע <math>(0,1]</math> .
<font size=5>:<math>\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}2\sqrt x\Bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\Big[2\sqrt1-2\sqrt{t}\Big]=2</math></font size=5>▼
 
▲<font size=5><math>\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}2\sqrt x\Bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\Big[2\sqrt1-2\sqrt{t}\Big]=2</math></font size=5>
 
;דוגמא 2
[[קובץ:Improper integral unbounded internally.svg|שמאל|ממוזער|250px|250 פיקסלים]]
חשב את האינטגרל של הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}</math> בקטע <math>[-1,1]</math> .
 
הפונקציה לא-חסומה בקטע בסביבת <math>x=0</math> , כלומר עלינו לחשב את האינטגרל בקטע <math>[1,0)\cup(0,1]</math> .
:<math>\begin{align}\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}&=\lim_{t_1\to0^-}\int\limits_{-1}^{t_1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+\lim_{t_2\to0^+}\int\limits_{t_2}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}\\&=\lim_{t_1\to0^-}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{-1}^{t_1}+\lim_{t_2\to0^+}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{t_2}^1\\&=\lim_{t_1\to0^-}\Big[3\sqrt[3]{t_1}-3\sqrt[3]{-1}\Big]+\lim_{t_2\to0^+}\Big[3\sqrt[3]{1}-3\sqrt[3]{t_2}\Big]=3+3=6\end{align}</math>
<center><font size=5>
<math>\begin{align}
\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}&
=\lim_{t_1\to0^-}\int\limits_{-1}^{t_1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+\lim_{t_2\to0^+}\int\limits_{t_2}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}\\
&=\lim_{t_1\to0^-}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{-1}^{t_1}+\lim_{t_2\to0^+}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{t_2}^1\\
&=\lim_{t_1\to0^-}\Big[3\sqrt[3]{t_1}-3\sqrt[3]{-1}\Big]+\lim_{t_2\to0^+}\Big[3\sqrt[3]{1}-3\sqrt[3]{t_2}\Big]=3+3=6
\end{align}</math>
</font size=5></center>
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/חשבון_אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל_מוכלל"