|
;משפט
אם <math>f</math> רציפה בקטע הסגור <math>[a,b]</math> , גזירהוגזירה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ומתקיים <math>f(a)=f(b)</math> , אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה <math>f'(c)=0</math> .
;הוכחה
נחלק לשלושה מקרים:
*<math>f</math> פונקציה קבועה -– במקרה זה <math>f'(xc)=0</math> לכל <math>xc\in(a,b)</math> לכן ניתן לקחת כ- <math>c</math> כל נקודה שהיא בקטע פתוח זה.
*<math>f(x)>f(a)</math> עבור <math>x\in(a,b)</math> כלשהו. מאחרמהנחת ו-הרציפות <math>f</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math> , על-פיעל־פי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס|המשפט השני של ויירשטראס]] היא<math>f</math> מקבלת שםבקטע הסגור מקסימום. ▼
: כיון ש- <math>f(a)=f(b)</math> , היא חייבת לקבלולכן מינימוםמקסימום זה בנקודה כלשהיפנימית <math>c\in(a,b)</math> . אזימהנחת ל- <math>f</math> יש מינימום מקומי בנקודה <math>c</math> וכיון שלפי הנתון היא גזירה בה,הגזירות נובע מ[[../../גזירות/משפט פרמה|משפט פרמה]] כי <math>f'(c)=0</math> . ▼▲*<math>f(x)>f(a)</math> עבור <math>x\in(a,b)</math> כלשהו. מאחר ו- <math>f</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math> , על-פי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס|המשפט השני של ויירשטראס]] היא מקבלת שם מקסימום.
*עבור <math>f(x)<f(a)</math> ההוכחה זהה למקרה הקודם. רק יש להחליף במילה "מינימום".
:כיון ש- <math>f(a)=f(b)</math> , היא חייבת לקבל מקסימום זה בנקודה כלשהי <math>c\in(a,b)</math> . אזי ל- <math>f</math> יש מקסימום מקומי בנקודה <math>c</math> וכיון שלפי הנתון היא גזירה בה, נובע מ[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט פרמה|משפט פרמה]] כי <math>f'(c)=0</math> .
*<math>f(x)<f(a)</math> עבור <math>x\in(a,b)</math> כלשהו. מאחר ו- <math>f</math> רציפה בקטע הסגור <math>[a,b]</math> , על-פי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס|המשפט השני של ויירשטראס]] היא מקבלת שם מינימום.
▲:כיון ש- <math>f(a)=f(b)</math> , היא חייבת לקבל מינימום זה בנקודה כלשהי <math>c\in(a,b)</math> . אזי ל- <math>f</math> יש מינימום מקומי בנקודה <math>c</math> וכיון שלפי הנתון היא גזירה בה, נובע מ[[../../גזירות/משפט פרמה|משפט פרמה]] כי <math>f'(c)=0</math> .
<math>\blacksquare</math>
| 