|
נתון כי <math>B_n</math> חסומה, כלומר <math>\forall n\in\N:|B_n|<M</math> . אזי לכל <math>N</math> טבעי מתקיים
:<math display=block>\begin{align}\sum_{n=1}^N\Bigbigl|B_n(a_n-a_{n+1})\Bigbigr|&=\sum_{n=1}^N|B_n|\cdot\bigl|a_n-a_{n+1}\bigr|\\&<M\cdot\sum_{n=1}^N\bigl|a_n-a_{n+1}\bigr|\\&=M\cdot\sum_{n=1}^N(a_n-a_{n+1})\\&=M(a_1-a_{N+1})\le M\cdot a_1\end{align}</math>
ובזאת הוכחנו שסדרתסדרת הסכומים החלקיים שלהזו חסומה ומונוטונית עולה, שכן כל אבריה אי־שליליים. לכן היא מתכנסת, כלומר <math>\Big|sum_{n=1}^\infty B_n(a_n-a_{n+1})\Big|</math> חסומהמתכנס בהחלט ובפרט מתכנס.
סדרה זו היא גם מונוטונית עולה, כי היא סדרת סכומים חלקיים של סדרה שכל אבריה אי-שליליים.
כיון שזו סדרה חסומה ומונוטונית עולה, היא בהכרח מתכנסת, כלומר הטור <math>\sum_{n=1}^\infty S_n(a_n-a_{n+1})</math> מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס, כלומר קיים הגבול:
<center><math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N-1}S_n(a_n-a_{n+1})</math></center>
====שלב ג====
לפי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'|כלל הסנדוויץ']] לסדרות מתקיים
לכל <math>n\in\N</math> , ועבור אותו <math>M</math> שהזכרנו בשלב ב, מתקיים:
<center>:<math>a_n\cdot(begin{align}-M)\lecdot a_n\cdotle S_na_nB_n\le M\cdot a_n\\\lim_{n\to\infty}-M\cdot a_n=\lim_{n\to\infty}M\cdot a_n=0\\\lim_{n\to\infty}a_nB_n=0\end{align}</math></center>
אבל כיון ש- <math>a_n</math> סדרה שואפת ל-0:
<center><math>\lim_{n\to\infty}a_n\cdot(-M)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot M=0</math></center>
לכן לפי כלל הסנדוויץ' לסדרות, גם הסדרה <math>a_n\cdot S_n</math> מתכנסת ל-0, ובפרט מתכנסת.
====שלב ד====
נחזורנשוב לנוסחא שאליה הגענו בסוף שלב א, ונשתמש במסקנותינו משלבים ב ו-גו־ג, ונקבל לפי אריתמטיקה של גבולות:
:<math display=block>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^ N a_n\cdot b_nNa_nb_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N-1} \Big[S_nB_n(a_n-a_{n+1}) \Big]+\lim_{N\to\infty} a_n\cdot S_na_nB_n</math> ▼
<center>
<math>\blacksquare</math>
▲<math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n\cdot b_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N-1}\Big[S_n(a_n-a_{n+1})\Big]+\lim_{N\to\infty}a_n\cdot S_n</math>
</center>
כלומר הגבול משמאל קיים ושווה לסכום הגבולות מימין (שאת קיומם הוכחנו), וקיומו של גבול זה שקול להתכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n </math> . <math>\blacksquare</math>
<!-- היות והטור <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס בהחלט, ע"פ קרטריון קושי להתכנסות טורים לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_b</math> כך שלכל <math>n>N_b</math> מתקיים: <math>\left|{b_{n+1}+b_{n+2}+\cdots}\right|<\varepsilon</math> . היות והסדרה <math>a_n</math> מונוטונית ושואפת ל-0, קיים <math>N_a</math> טבעי כך שלכל <math>n>N_a</math> מתקיים <math>|a_n|<1</math> . ניקח <math>N=\max(N_a,N_b)</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n\cdot b_n|<| b_n|</math> . מכאן לפי משפט ההשוואה הטור <math>\sum_{k=n}^\infty a_k\cdot b_k</math> מתכנס, ומכאן שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> כולו מתכנס כדרוש. <math>\blacksquare</math> -->
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]
| 