חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

כאשר אמרנו "להביא את <math>f(x)</math> קרובה ל- <math>L</math> ככל שנרצה", למה הכוונה ב"ככל שנרצה"? אנחנו יכולים להביא את <math>f(x)</math> למרחק 0.1 מ-<math>L</math> , מרחק 0.00001 ולמעשה, מרחק קטן ככל שנרצה. את המרחק הזה מסמל בהגדרה הנ"ל אפסילון <math>\varepsilon</math> , אות יוונית המשמשת לרוב לציון ערכים קטנים מאוד, למרות שאין זה מן הנמנע כי אפסילון יהיה מספר גדול מאוד. <math>\Big|f(x)-L\Big|</math> הוא המרחק של <math>f(x)</math> מ- <math>L</math> ואנו אומרים שהגבול קיים אם אנחנו יכולים לעשות את המרחק הזה קטן ככל שנרצה (קטן מכל אפסילון שהוא). אם נפתח את הערך המוחלט ונעביר את <math>L</math> הצידה, נקבל:{{ש}}▼

<math>L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon</math>▼

כלומר, הערכים אשר <math>f(x)</math> מקבלת נמצאים בין <math>L-\varepsilon</math> לבין <math>L+\varepsilon</math>, וזהו הדבר שבדיוק חיפשנו - <math>f(x)</math> קרובה ל- <math>L</math> עד כדי המרחק <math>\varepsilon</math> .{{ש}}▼

מתי מתרחשת קרבה זו, ע"פ ההגדרה? כאשר <math>0<|x-a|<\delta</math> ולאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת <math>a</math> הצידה▼

<math>a-\delta<x<a+\delta</math>▼

כלומר עבור ערכי <math>x</math> שהם קרובים ל- <math>a</math> מאוד, למעשה קרובים עד כדי המרחק הקטן <math>\delta</math> .▼

נשים לב שערכי ה־<math>x</math> אינם יכולים להיות <math>a</math>, שכן אילו היה <math>x</math> ששווה ל־<math>a</math>, היה מתקבל ש־<math>|x-a|=|a-a|=0</math>, בסתירה לכך ש־<math>0 < |x-a|</math>.▼

מנין מגיעים המספרים <math>\varepsilon</math> ו- <math>\delta</math> ואיך בוחרים אותם? האם כל מספר יתאים להם?{{ש}}▼

למי שעדיין אינו בקיא בהוכחות מתמטיות מדויקות, יתכן שהשימוש בשני מספרים כללים נראה מפחיד בתחילה. נחזור כעת למשפט השני מתוך ההגדרה: "...לכל מספר <math>\varepsilon>0</math> קיים מספר <math>\delta>0</math>..."{{ש}}▼

המספר <math>\varepsilon</math> אינו נבחר על ידינו, אם כן. <math>\varepsilon</math> אשר מייצג את המרחק של <math>f(x)</math> מהערך <math>L</math> יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר <math>\varepsilon</math> כללי, מספר אחר <math>\delta</math> , מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. <math>\delta</math> אם כן, הוא מספר אשר '''כן''' נבחר על ידנו, אבל לא כל <math>\delta</math> יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחכמה, ועל כך בדוגמא.▼

'''דוגמא:''' נביט בפונקציה <math>f(x)=\frac{x}{x}</math> ונתעניין בגבול <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> .{{ש}}▼

ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x\ne 0</math> נקבל כי <math>f(x)=\frac{x}{x}=1</math>. ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>f(x)=1</math> לכל <math>x</math> , אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x=0</math>: <math>f(0)=\frac00</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב- <math>0</math> לעולם'''. לכן ב- <math>0</math> הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל- <math>0</math> "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>f(x)=1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1</math> . כעת נוכיח זאת בצורה מדויקת, בעזרת ההגדרה המדויקת שלמדנו.{{ש}}▼

יהי <math>\varepsilon_0>0</math> כלשהו. למה הכוונה במשפט זה? נזכר כי עלינו להוכיח משהו (במקרה זה קיום <math>\delta>0</math> מתאים) עבור כל <math>\varepsilon</math> הגדול מאפס. יש כמובן אינסוף ערכי <math>\varepsilon</math> שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים איפוא <math>\varepsilon_0>0</math> שרירותי, ומוצאים עבורו <math>\delta_0</math> מתאים. אם עבור <math>\varepsilon_0</math> שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל <math>\varepsilon>0</math> ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה.{{ש}}▼

ובכן, נבחר עבור ה- <math>\varepsilon_0</math> שלנו, <math>\delta=\varepsilon_0</math>. מתעוררות שתי שאלות:▼

# האם זהו <math>\delta</math> מתאים?▼

# האם זהו ה- <math>\delta</math> היחידי שניתן לבחור?▼

עבור כל <math>x</math> המקיים <math>0<|x-0|<\delta=\varepsilon_0</math> בפרט מתקיים <math>0<|x-0|=|x|</math> , כלומר ש- <math>x\ne 0</math> ולכן <math>f(x)=1</math> כפי שהוסבר קודם, ולכן▼

<math>\Big|f(x)-1\Big|=|1-1|=0<\varepsilon_0</math>▼

ולכן הוכחנו את מה שדרשה ההגדרה.{{ש}}▼

לשאלתנו השניה - התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה ש- <math>|x-0|<\delta=\varepsilon_0</math> , כלומר לא נזקקנו לגודל מסוים של <math>\delta</math> , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרט לקבוע ערכים קבועים כמו <math>\delta=32</math> . זה '''לא''' יהיה המצב תמיד, ולעתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסוימות על ערכי <math>\delta</math> המתאימים. עם זאת, שימו לב שאם <math>\delta=\delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon=\varepsilon_0</math> מסוים הרי שגם <math>\delta=\frac{\delta_0}{2}</math> יתאים ולכן תמיד הבחירה של <math>\delta</math> אינה יחידה.▼

{{אתגר|נסו להבין למה אם <math>\delta=\delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon=\varepsilon_0</math> אז גם <math>\delta=\frac{\delta_0}{2}</math> מתאים לו.}}▼

==הגדרה מדויקת לגבולות חד-צדדיים==▼