חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת '''רציפה''' אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט. לדוגמא, הפונקציה <math>f(x)=\frac1{x}</math> לא רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים. עוד דוגמא לפונקציה לא-רציפה היא <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> והיא לא רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל- <math>x=2</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.
 
לדוגמא, הפונקציה <math>f(x)=\frac1x</math> לא־רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים.
ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא-פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.
 
עוד דוגמא לפונקציה לא־רציפה היא <math>f(x)=\frac{x}{x}</math> והיא לא־רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל־<math>x=0</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.
 
ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא-פורמליתלא־פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.
 
==הגדרה==
פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> .
 
פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- ב־<math>x_0</math> .
 
נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> . נראה כי <math>\lim_{x\to 2to2}f(x)=4</math> אבל <math>f(2)</math> לא-מוגדרלא־מוגדר. לכן הפונקציה לא רציפהלא־רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.
 
==מיון נקודות אי-רציפותאי־רציפות==
תהי פונקציה שלא רציפה ב-לא־רציפה ב־<math>x_0</math> . נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:
*נק'נקודת אי-רציפותאי־רציפות '''סליקה''' (או מסוג 0) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math>\ne אך הוא שונה מ- <math>f(x_0)</math> . דוגמא לכך זה אותההיא פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=20</math> נק'נקודת אי-רציפותאי־רציפות סליקהכזו.
*נק'נקודת אי-רציפותאי־רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x_0)\ ,\ ne\lim_{x\to x_0^-}f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמא לכך היא פונקציית הסימן, <math>\sgn(x)=\begin{cases}1 & x>0\\ 0 & x=0 \\ -1 & x<0\end{cases}</math> .{{ש}}
:<math>\sgn(x)=\begin{cases}1&:x>0\\0&:x=0\\-1&:x<0\end{cases}</math>
:הנקודה <math>x=0</math> היא נק'אי־רציפות אי-רציפות מסוג ראשוןכזו כיון שהגבול החד-צדדיהחד־צדדי מהצד השלילי הוא <math>-1</math> אבל הגבול החד-צדדיהחד־צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to 0to0^+}\sgn(x)=1</math> והרי <math>1</math> ו- <math>-1\ne1</math> שונים.
*נק'נקודת אי-רציפותאי־רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדייםהחד־צדדיים לא קיים במובן הצר.
 
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]