חשבון אינפיניטסימלי/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 1:
באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת '''רציפה''' אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט. לדוגמה, הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> לא רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים. עוד דוגמה לפונקציה לא רציפה היא <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> והיא לא רציפה על כל הישר הממשי כיוון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל- <math>x=2</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.
 
לדוגמא, הפונקציה <math>f(x)=\frac1x</math> לא־רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים.
ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא-פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.
 
עוד דוגמא לפונקציה לא־רציפה היא <math>f(x)=\frac{x}{x}</math> והיא לא־רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל־<math>x=0</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.
 
ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא-פורמליתלא־פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.
 
==הגדרה==
פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math> .{{ש}}
פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- <math>x_0</math> .
 
פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- ב־<math>x_0</math> .
נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> . נראה כי <math>\lim_{x\to2}f(x)=4</math> אבל <math>f(2)</math> לא מוגדר. לכן הפונקציה לא רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.
 
נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> . נראה כי <math>\lim_{x\to2}f(x)=4</math> אבל <math>f(2)</math> לא מוגדרלא־מוגדר. לכן הפונקציה לא רציפהלא־רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.
==מיון נקודות אי-רציפות==
 
תהי פונקציה שלא רציפה ב-<math>x_0</math>. נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:
==מיון נקודות אי-רציפותאי־רציפות==
*נק' אי-רציפות '''סליקה''' (או מסוג <math>0</math>) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math> אך הוא שונה מ-<math>f(x_0)</math> . דוגמא לכך זה אותה פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=2</math> נק' אי-רציפות סליקה.
תהי פונקציה שלאלא־רציפה רציפה ב-ב־<math>x_0</math> . נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:
*נק' אי-רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x_0)\ ,\ \lim_{x\to x_0^-}f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמא לכך היא פונקציית הסימן, <math>\sgn(x)=\begin{cases}1&\text{ if }&>0\\0&\text{ if }x=0\\-1&\text{ if }x<0\end{cases}</math> . הנקודה <math>x=0</math> היא נק' אי-רציפות מסוג ראשון כיון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא 1- אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to0^+}\sgn(x)=1</math> והרי 1 ו- 1- שונים.
*נק'נקודת אי-רציפותאי־רציפות '''סליקה''' (או מסוג <math>0</math>) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math>\ne אך הוא שונה מ-<math>f(x_0)</math> . דוגמא לכך זה אותההיא פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=20</math> נק'נקודת אי-רציפותאי־רציפות סליקהכזו.
*נק' אי-רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדיים לא קיים במובן הצר.
*נקודת אי־רציפות מסוג ראשון – אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x_0)\ne\lim_{x\to x_0^-}f(x_0)</math> . דוגמא לכך היא פונקציית הסימן
:<math>\sgn(x)=\begin{cases}1&:x>0\\0&:x=0\\-1&:x<0\end{cases}</math>
:הנקודה <math>x=0</math> היא אי־רציפות כזו כיון שהגבול החד־צדדי מהצד השלילי הוא <math>-1</math> אבל הגבול החד־צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to0^+}\sgn(x)=1</math> והרי <math>-1\ne1</math> .
*נק'נקודת אי-רציפותאי־רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדייםהחד־צדדיים לא קיים במובן הצר.
 
==רציפות במידה שווה==
עפ"יעל־פי הגדרת הרציפות, <math>f(x)</math> נקראת רציפה בנקודה אם מתקיים
:<math>\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x:|x-x_0|<\delta\to\biggbigl|f(x)-f(x_0)\biggbigr|<\varepsilon</math> .{{ש}}
כלומר, לכל מרחק נתון, קיימת סביבה מספיק קטנה של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x</math> בסביבה הזאת, <math>f(x)</math> יהיה רחוק מ- מ־<math>f(x_0)</math> עד כדי המרחק הנתון.
 
אנחנו רוצים להגדיר משהו יותר חזק מרציפות. <math>f(x)</math> נקראת רציפה במידה שווה (או רציפה במ"ש) בקטע <math>[a,b]</math> אם מתקיים
:<math>\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in[a,b]:|x_1-x_2|<\delta\to\biggbigl|f(x_1)-f(x_2)\biggbigr|<\varepsilon</math>{{ש}}
כלומר, לכל מרחק נתון, קיימת סביבה מספיק קטנה כך שלכל שתי נקודות בתוכה המרחק בין ערכי הפונקציה בהן יהיה קטן מהמרחק הנתון (יש להדגיש שלכל מרחק התחלתי, קיים אורך סביבה מספיק קטן אחר).
 
רציפות במ"ש היא לא תכונה מאוד שימושית, אך היא עוזרת להוכיח שכל פונקציה רציפה בקטע סגור הנה אינטגראבילית.{{ש}}
אנחנו רוצים להגדיר משהו יותר חזק מרציפות. <math>f(x)</math> נקראת רציפה במידה שווה (או רציפה במ"ש) בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל מרחק נתון, אני יכול למצוא אורך סביבה מספיק קטן שיתאים לכל <math>x_0</math> בקטע כך שהגדרת גבול הרציפות תתקיים. בעצם זה אומר שלכל שתי נקודות שאקח עם מרחק קטן מאותו אורך סביבה מספיק קטן, המרחק בין ערכי הפונקציה בהן יהיה קטן מהמרחק ההתחלתי הנתון (יש להדגיש שלכל מרחק התחלתי, קיים אורך סביבה מספיק קטן אחר). זאת אומרת:
:<math>\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in[a,b]:|x_1-x_2|<\delta\to\bigg|f(x_1)-f(x_2)\bigg|<\varepsilon</math>{{ש}}
רציפות במ"ש היא לא תכונה מאוד שימושית, אך היא עוזרת להוכיח שכל פונקציה רציפה בקטע סגור הנה אינטגראבילית.{{ש}}
 
===קריטריונים לרציפות במ"ש===
*תנאי הכרחי אך לא-מספיק - פונקציה רציפה במ"ש הנה רציפה. (לא עובד בכיוון ההפוך. כלומר פונקציה רציפה אינה בהכרח רציפה במ"ש){{ש}}
*סכום רציפות במ"ש הוא רציף במ"ש. כפל סקלר ברציפה במ"ש רציף במ"ש. נשים לב שכפל פונקציות רציפות במ"ש לא בהכרח רציף במ"ש. לדוגמא: <math>f(x)=x</math> רציף במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> אך <math>x\cdot x=x^2</math> לא.
*פונקציה היא '''לא'''-רציפה במ"ש בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם קיימות 2 סדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> ו- <math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math> כך ש- <math>|x_n-y_n|\to0</math> אבל <math>\bigg|f(x_n)-f(y_n)\bigg|\not\to</math>