חשבון אינפיניטסימלי/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> . נראה כי <math>\lim_{x\to2to0}f(x)=41</math> אבל <math>f(20)</math> לא־מוגדר. לכן הפונקציה לא־רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.

תהי פונקציה לא־רציפה ב־<math>x_0</math> . נחלק ל-3ל־3 מקרים שונים שיכול להיות אז:

*תנאי הכרחי אך לא-מספיקלא־מספיק – פונקציה רציפה במ"ש הנה רציפה. (לא עובד בכיוון ההפוך. כלומר פונקציה רציפה אינה בהכרח רציפה במ"ש){{ש}}

*סכום רציפות במ"ש הוא רציף במ"ש. כפל סקלר ברציפה במ"ש רציף במ"ש.
:נשים לב שכפל פונקציות רציפות במ"ש לא בהכרח רציף במ"ש. לדוגמא: <math>f(x)=x</math> רציף במ"ש ב- ב־<math>[0,\infty)</math> אך <math>x\cdot x=x^2</math> לא.

*פונקציה היא '''לא'''-רציפה־רציפה במ"ש בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם קיימות 2 סדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> ו- <math>,\{y_n\}_{n=1}^\infty</math> כך ש-עבורן <math>|x_n-y_n|\to0</math> אבל <math>\biggbigl|f(x_n)-f(y_n)\biggbigr|\not\toto0</math> .

*תנאי הכרחי אך לאלא־מספיק מספיק -– פונקציה רציפה במ"ש בקטע '''סופי''' חסומה שם.

*משפט קנטור -– פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה שם.

*נניח <math>f</math> רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש <math>g</math> . אזי ההרכבה <math>f\bigl(g(x)\bigr)</math> רציפה במ"ש.

*מסקנה -– תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש -– גבולות סופיים בקצות הקטע: תהי <math>f</math> פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.

*תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) -– נגזרת חסומה: פונקציה גזירה שנגזרתה חסומה בקטע, רציפה שם במ"ש.

*תנאי מספיק (אבל לא הכרחי)- – מחזורית ורציפה: פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים.

::לדוגמא: הפונקציה <math>f(x)=\sin(x)</math> מחזורית כיון שמתקיים לכלשלכל <math>x</math> ש-מתקיים <math>\sin(x+2\pi)=\sin(x)</math> (אז <math>p</math> במקרה הזה הוא <math>2\pi</math>). סינוס זההיא פונקציה רציפה בנוסף להיותה מחזורית ולכן רציפה במ"ש ב- ב־<math>\R</math> (על כל הישר הממשי).