חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

<u>הגדרה</u>: תהאתהי <math>A\subsetsub\R</math> . נגידנאמר שהקבוצהכי הקבוצה <math>A</math> ''חסומה מלעיל'' (''Bounded above'') אם קיים מספר <math>M</math> כך שלכל <math>x\in A</math> מתקיים: <math>x\le M</math> .

[[תמונה:P4fst.jpg|כאן, M הנו חסם מלעיל כלשהו לקבוצה A, כלומר הקבוצה A חסומה מלעיל ע"יעל־ידי M.]]

קל לראות, על-פיעל־פי ההגדרה, ש-כי <math>M</math> אינו יחיד (כי: יהאיהי <math>M</math> מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ- מ־<math>M</math> יקיים את התנאי אף הוא). כל <math>M</math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').

<u>הגדרה</u>: תהאתהי <math>A\subsetsub\R</math> . נגידנאמר שהקבוצהכי הקבוצה <math>A</math> ''חסומה מלרע'' (''Bounded below'') אם קיים מספר <math>m</math> כך שלכל <math>x\in A</math> , מתקיים: <math>x\ge m</math> .{{ש}}

ושוב, קל לראות, על-פיעל־פי ההגדרה, ש-כי <math>m</math> אינו יחיד.{{ש}}

1. #<math>\N=\{1,2,3,\ldots\}</math> חסומה מלרע -– כל <math>m\le 1le1</math> הוא חסם מלרע. לעומת זאת, הקבוצה <math>\N</math> אינה חסומה ''מלעיל''.{{ש}}

*##קיים חסם מלעילמלרע 0, אך הוא אינו בתוך <math>A</math> (שהואקיימים, כמובן, המספרנוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה <math>1A</math>). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!

<u>הגדרה</u>: נתונהתהי <math>A</math> , קבוצה החסומה מלעיל ב- ב־<math>\R</math> . המספר <math>M</math> יקרא ''החסם מלעיל הקטן ביותר'' (''"החסם העליון"'') או ''סופרמום'' (Supremum) של <math>A</math> , אם מתקיים

1)#לכל חסם מלעיל אחר <math>MM_1</math> חסם מלעיל שלמתקיים <math>AM_1\ge M</math> .{{ש}}

דוגמא: <math>A=(0,1]\ ,\ B=[0,1)</math> . בשני המקרים, <math>M=1</math> הוא החסם העליון.{{ש}}

נגדירהמספר כעת<math>m</math> יקרא ''חסםהחסם תחתוןמלרע גדולהגדול ביותר'' (''"החסם התחתון"'') או ''אינפימום'' (infimumInfimum): של <math>A</math> , אם מתקיים{{ש}}

1)#לכל חסם מלרע אחר <math>mm_1</math> חסם מלרע שלמתקיים <math>Am_1\le m</math> .{{ש}}

*הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"יעל־ידי סופרמום, באופן הבא: <math>\inf A=-\sup(-A)</math> , כאשר מגדירים: <math>-A=\{-x|:x\in A\}</math> .

#נתונה קבוצהתהי <math>A</math> קבוצה החסומה מלעיל ע"י <math>M</math> , כלומרעל־ידי <math>M=\sup A</math> . אם <math>M\in A</math> נגידנאמר ש-כי ''<math>M</math> הוא המקסימום של <math>A</math>'' , ונכתוב: <math>M=\max A</math> .

#נתונה קבוצהתהי <math>B</math> קבוצה החסומה מלרע ע"י <math>m</math> , כלומרעל־ידי <math>m=\inf B</math> . אם <math>m\in B</math> נגידנאמר ש-כי ''<math>m</math> הוא המינימום של <math>B</math>'' , ונכתוב: <math>m=\min B</math> .

<math>?</math> <u>שאלה</u>: האם לכל קבוצה <math>A</math> החסומה מלעיל יש סופרמום?{{ש}}

*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\Q</math> ,– התשובה היא לא.

*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\R</math> ,– התשובה היא כן, תמיד!

<u>דוגמא חשובה מאוד</u>: נתבונן בקבוצה הבאה: <math>A=\bigl\{x\in\Q|:x^2<2\bigr\} </math> {{ש}}

כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך <math>\Q</math> ?{{ש}}

<u>טענה</u>: לקבוצה <math>A</math> הנ"ל אין סופרמום בתוך <math>\Q</math> .{{ש}} .

<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות <math>M</math>. כלומר: <math>M=\sup\{ A\}</math> .{{ש}}

בהכרח <math>M\ne\sqrt2</math> (משום ש-כי <math>M\in\Q</math> , וראינו מקודם ש-כי <math>\sqrt2\not\innotin\Q</math>). לכן, קיימות שתי אפשרויות:{{ש}}

א) <math>M>\sqrt2</math> : לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, ביןקיים מספר רציונלי <math>MM_1</math> וביןעבורו <math>\sqrt2</math> יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו M_1<math>M_1M</math> .{{ש}}

כעת: לכל <math>x\in A</math> , מתקיים ש-כי <math>M_1\Leftarrow M_1>x</math> חסם מלעילכלומר <math>M\LeftarrowM_1</math> אינו סופרמום! (כי יש חסם מלעיל, הקטן ממנו)אזי <math>\LeftarrowM</math> סתירהאינו להנחהסופרמום! סתירה. ש-לכן <math>M>\sqrt{2} le\sqrt2</math> . אבל כבר אמרנו <math>M\lene\sqrt2\Leftarrow</math> . אבל, כבר אמרנו שבהכרחלכן <math>M<\sqrt2\Leftarrow M\ne\sqrt2</math> .{{ש}}

ב) <math>M<\sqrt2</math> : לפי אותו משפט כנ"ל, יש בין <math>M</math> לבין <math>\sqrt2</math>קיים מספר רציונלי <math>M_2</math> , ומתקיים:עבורו <math>M<M_2<\sqrt2</math> . לכן, <math>M_2\in A</math> (כי: <math>(M_2)^2<2\Leftarrow M<\sqrt2</math>) {{כ}}. אזי <math>M\Leftarrow</math> אינו חסם עליון כללסופרמום! (כי יש אבר בקבוצה שגדול ממנו)סתירה.{{ש}}

</br><u>מסקנה</u>: אין לקבוצה <math>A</math> הנ"ל סופרמום בתוך <math>\Q</math> , והטענה הוכחה ▪.