אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Noamshemer (שיחה | תרומות)
Mathreturn (שיחה | תרומות)
שורה 88:
בסעיף זה נראה מעבר חשוב ושימושי ביותר מהעתקות למטריצות. נראה שאפשר לייצג כל העתקה לינארית כמטריצה (מלבנית).
 
תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, כאשר <math>V</math> מרחב וקטורי נוצר סופית ממד <math>n</math> , ו-W נוצר סופית ממד <math>m</math> . יהיו <math>B_1=\{v_1,\dots,v_n\}</math> בסיס של <math>V</math> , וכן <math>B_2=\{u_1,\dots,u_m\}</math> בסיס של W.
 
לכל וקטוריהיו <math>wB_1=\{v_1,\dots,v_n\}</math> ב-בסיס של <math>WV</math> , יש הצגה -וכן <math>wB_2=a_1u_1+\cdots+a_mu_m</math>. אם כן, נסמן <math>[w]_{B_2}=(a_1u_1,\dots,a_m)^tu_m\}</math> , ובמילים -בסיס הוקטורשל <math>wW</math> לפי הבסיס <math>B_2</math> (מטעמי נוחיות, נתייחס אליו כוקטור עמודה).
 
כל וקטור <math>w\in W</math> הוא תוצאה של צירופים לינארים של ווקטורי הבסיס של <math>W</math> ולכן ניתן להציגו <math>w=a_1u_1+\cdots+a_mu_m</math>.
 
נסמן <math>[w]_{B_2}=(a_1,\dots,a_m)^t</math> , ובמילים - הוקטור <math>w</math> לפי הבסיס <math>B_2</math> (מטעמי נוחיות, נתייחס אליו כוקטור עמודה).
 
כעת, יהי וקטור <math>v</math> ב- <math>V</math> . את התהליך הנ"ל אפשר לעשות זאת לכל וקטור ב- <math>W</math>, ובפרט ל- <math>T(v)</math> שב- <math>W</math> , כלומר אם <math>T(v)=a_1u_1+\cdots+a_mu_m</math> נקבל ל<math>[T(v)]_{B_2}=(a_1,\cdots,a_m)^t</math> .