|
לכן, <math>\mbox{rank}(T)=\dim(\mbox{Im}(T))=\# C=n-k</math> . מש"ל
==מטריצה מייצגת העתקה==
בסעיף זה נראה מעבר חשוב ושימושי ביותר מהעתקות למטריצות. נראה שאפשר לייצג כל העתקה לינארית כמטריצה (מלבנית).
תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, כאשר <math>V</math> מרחב וקטורי נוצר סופית ממד <math>n</math> , ו-W נוצר סופית ממד <math>m</math> .
יהיו <math>B_1=\{v_1,\dots,v_n\}</math> בסיס של <math>V</math> , וכן <math>B_2=\{u_1,\dots,u_m\}</math> בסיס של <math>W</math>.
כל וקטור <math>w\in W</math> הוא תוצאה של צירופים לינארים של ווקטורי הבסיס של <math>W</math> ולכן ניתן להציגו <math>w=a_1u_1+\cdots+a_mu_m</math>.
נסמן: <math>[w]_{B_2}=(a_1,\dots,a_m)^t</math>, ובמילים, הוקטור <math>w</math> (מטעמי נוחיות, נתייחס אליו כוקטור עמודה) לפי הבסיס <math>B_2</math> הוא תוצר של מכפלות סקלריות של אותו בסיס בו אנו נמצאים.
יהי וקטור <math>v\in V</math>. נבצע העתקה על וקטור זה ונקבל <math>T(v)</math>.
<math>w=T(v)\in W</math>, כלומר ניתן להציגו גם כך, <math>T(v)=a_1u_1+\cdots+a_mu_m</math>
נוכל לסמלו באופן דומה לפירוט לעיל כצירוף לינארי של וקטורי בסיס <math>b</math>, <math>[T(v)]_{B_2}=(a_1,\cdots,a_m)^t</math>
נוכל לחזור על פעולה זו לכל אחד מהוקטורים ב-<math>v</math>, ובפרט לווקטורי הבסיס של <math>v</math> כמו למשל <math>v_1</math>.
נקבל שיש קובעים <math>a_{11},\dots,a_{m1}</math> כך ש- <math>[T(v_1)]_{B_2}=(a_{11},\dots,a_{m1})^t</math> .
ביתר כלליות, אפשר לעשות זאת לכל וקטור בבסיס שלקחנו, ולכל <math>i</math> בין 1 ל-n נקבל <math>[T(v_i)]_{B_2}=(a_{1i},\dots,a_{mi})^t</math> .
אם נסדר את הוקטורים הללו בעמודות של מטריצה לפי הסדר, תתקבל מטריצה <math>mXn</math>, נסמנה בתור A. מטריצה זו נקראת '''המטריצה המייצגת של ההעתקה''' <math>T</math> '''מהבסיס''' <math>B_1</math> '''לבסיס''' <math>B_2</math> , ולעתים מסומנת <math>[T]^{B_1}_{B_2}</math> .
כעת, מתקיימת לכל וקטור <math>v</math> ב- <math>V</math> הזהות - <math>[T(v)]_{B_2}=A[v]_{B_1}=[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1}</math> כאשר הכוונה היא לכפל מטריצות (כאן - מטריצה בוקטור).
אבל רצינו להגיע לזהות שתבטא את האופרטור על ידי כפל מטריצות, ולא הצגה של האופרטור לפי בסיס. כדי לעשות זאת, יש לבחור את הבסיסים הנ"ל להיות סטנדרטיים, במובן שלפיהם יתקיים: <math>[v]_{B_1}=v</math> לכל וקטור <math>v</math> ב- <math>V</math>(ובדומה ב- <math>W</math>). קיומם של בסיסים כאלה הוא לא מובן מאליו, וניתן להוכיח זאת על-ידי העובדה שהמרחב מסדר סופי איזומרפי לשדה בחזקת הממד, ואם כן - להפעיל איזומרפיזם זה על הבסיס הסטנדרטי של F בחזקת הממד.
אם כבר יש בידינו שני בסיסים כאלו למרחבים הנ"ל, הזהות הופכת לזהות השימושית: <math>T(v)=Av=[T]^{B_1}_{B_2}v</math> . כלומר, הפעלת ההעתקה שקולה לכפל במטריצה כלשהי משמאל.
חשוב לומר שגם ההפך נכון, אבל טריוויאלי יותר - אם <math>A</math> היא מטריצה <math>mXn</math> מעל שדה F, אפשר פשוט להגדיר העתקה <math>T:F^n\to F^m</math> על-ידי <math>T(v)=Av</math> . קל להוכיח (לפי תכונות של כפל מטריצות) שהעתקה זו היא לינארית.
בכך למעשה הוכח כי מטריצות (מגודל סופי) והעתקות לינאריות (בין מרחבים וקטוריים ממד סופי) הם שני דברים שקולים אלגברית.
[[קטגוריה:אלגברה לינארית|העתקות לינאריות]]
| 