|
הדרגה של T, תוגדר להיות <math>\mbox{rank}(T)=\dim(\mbox{Im}(T))</math>
==משפט הממד על העתקות==
תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, כאשר V נוצר סופית. אזי <math>\mbox{rank}(T)+\nu(T)=\dim(V)</math>
הוכחה: נסמן <math>n=\dim(V),k=\nu(T)</math> . צריך להוכיח <math>\mbox{rank}(T)=n-k</math>
יהי <math>A=\{u_1,\dots,u_k\}</math> בסיס ל- <math>\mbox{Ker}(T)</math> . אזי A בת"ל ב-V. כיון שכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס, קיימת קבוצה <math>B=\{u_1,\dots,u_n\}</math> שהיא בסיס ל-V.
נסמן <math>C=\{T(u_{k+1}),\dots,T(u_n)\}</math> . אזי <math>\# C=n-k</math>
יהי <math>\sum_{i=k+1}^n \alpha_iT(u_i)=\vec 0_W</math> צירוף לינארי של C, המתאפס.
אזי (כי ה"ל שומרת על צירופים לינאריים): <math>T(\sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i)=\vec 0_W</math>
לכן, <math>\sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i\in\mbox{Ker}(T)</math>.
בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים המקיימים <math>\sum_{i=1}^k \beta_iu_i=\sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i</math> , כלומר, <math>\sum_{i=1}^k \beta_iu_i+\sum_{i=k+1}^n 0u_i=\sum_{i=1}^k 0u_i+\sum_{i=k+1}^n \alpha_iu_i</math>
בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל <math>\forall k<i\le n:\alpha_i=0</math>. לכן, C בת"ל.
יהי <math>x\in\mbox{Im}(T)</math>. אזי <math>\exists v\in V:T(v)=x</math>
בגלל שבסיס פורש, קיימים סקלרים המקיימים <math>v=\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i</math>
נקבל: <math>x=T(v)=T(\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i)=T(\sum_{i=1}^k \alpha_iu_i)+T(\sum_{i=k+1}^n\alpha_iu_i)=\vec 0_W+\sum_{i=k+1}^n \alpha_iT(u_i)=\sum_{i=k+1}^n \alpha_iT(u_i)\in\mbox{span}(C)</math>.
לכן, C פורשת את <math>\mbox{Im}(T)</math> , ומכיון שהיא בת"ל, היא בסיס לה.
לכן, <math>\mbox{rank}(T)=\dim(\mbox{Im}(T))=\# C=n-k</math> . מש"ל
| 