אלגברה לינארית/משפט הממד על העתקות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Mathreturn (שיחה | תרומות) |
||
שורה 12:
תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, כאשר V נוצר סופית. אזי <math>\mbox{rank}(T)+\nu(T)=\dim(V)</math>
}}
נסמן: מ"ו מימד סופי ולכן נסמן <math>dim(V)=n</math>.
שורה 19:
כלומר נקבל <math>\overbrace{\underbrace{ v_1, v_2+\cdots+v_k}_{Basis T}+\underbrace{v_{k+1}+\cdots+v_n }_{n-k}}^{Basis V}</math>
אם נוכיח כי <math>dim(im(T))=n-k</math>,
'''טענה:''' <math>v_{k+1}+\cdots+v_n</math> הם בסיס של התמונה.
===פורשים את המרחב===
סימנו כי <math>v_{1}+\cdots+v_n</math> הוא בסיס של <math>V</math>
נסמן את הצירופים הלינארים של כל ווקטורי המרחב <math>V</math>: יהיה <math>c_1,c_2, \cdots, c_3</math> כך ש-<math>v=c_1v_1+\cdots +c_n v_n</math>
נתונה ההעתקה לינארית <math>T:V\to W</math>. נפעיל אותה על ווקטור <math>v</math> כללי שלנו ונייצג כל <math>w\in W</math> נקבל <math>w=t(v)=T(c_1v_1+\cdots +c_n v_n)</math>
נוציא את הסקלרים ונקבל <math>w=t(v)=c_1T(v_1)+\cdots +c_kT(V_k)+c_{k+1}(v_{k+1})+\cdots+c_nT(v_n))</math>
ידוע כי <math>v_1,\cdots, v_k\in Ker(T)</math> ולכן <math>w=t(v)=c_1\underbrace{T(v_1)}_{0_w}+\cdots +c_k\underbrace{T(v_k)}_{0_w}+c_{k+1}(v_{k+1})+\cdots+c_nT(v_n))</math>
על כן <math>w=t(v)=c_{k+1}T(v_{k+1})+\cdots+c_nT(v_n))</math> פורשת את כל התמונה.
===בת"ל===
נוכיח כי <math>w=c_{k+1}T(v_{k+1}),\cdots,c_nT(v_n)</math> בת"ל כלומר צריך להוכיח כי <math>c_{k+1}=...=c_n=0_F</math>.
כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים <math>c_{k+1},...,c_n</math> הצירוף הליניארי של הווקטורים <math>v_{k+1},...,v_n</math> מביא לאפס השדה.
לפי הנחה נניח כי: <math>c_1T(v_{k+1})+...+c_n(T(v_n)) = 0_w</math>
נוציא את T ונקבל <math>T(c_1(v_{k+1})+...+c_n(v_n) = 0_w</math>, ובמילים אחרות, <math>T(c_1(v_{k+1})+...+c_n(v_n) \in ker(T)</math>
לכן נוכל להשוואות את הווקטורים עם הווקטורים בגרעין, <math>T(c_1(v_{k+1}))+...+c_n(v_n) =c_1v_1+\cdots +c_n v_n</math>
נעביר אגפים, <math>T(c_1(v_{k+1}))+...+c_n(v_n) -(c_1v_1+\cdots +c_n v_n)=0</math>
קבלו קומבינציה לינארית של איברי הבסיס <math>V</math> שמתאפסת ולכן, מאחר שווקטורי בסיס הם קבוצה בת"ל, גם צירוף לינארי בת"ל.
===הוכחה בנוסחת ההגדרה השנייה===
| |||