אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

===הוכחת ההגדרה===▼

תהי <math>T:V\to W</math> פונקציה. T היא ה"ל אמ"מ <math>\forall u,v\in V,\alpha\in\mathbb{F};T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)</math>▼

הוכחה: אם T ה"ל, אזי <math>T(u+\alpha v)=T(u)+T(\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)</math>▼

בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים, נקבל:▼

*<math>T(u+v)=T(u+1v)=T(u)+1T(v)=T(u)+T(v)</math>▼

*<math>T(\vec 0_V)=T(\vec 0_V+(-1)\vec 0_V)=T(\vec 0_V)-T(\vec 0_V)=\vec 0_W\ \rArr\ T(\alpha u)=T(\vec 0_V+\alpha u)=\vec 0_W+\alpha T(u)=\alpha T(u)</math>▼

===תכונות של העתקה===▼

תהי <math>T:V\to W</math> ה"ל, אזי:▼

*מהוכחת הקריטריון המקוצר, נובע: <math>T(\vec 0_V)=\vec 0_W</math>▼

*שמירההעתקה שומרת על צירופים לינאריים: <math>T(\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_iT(u_i)</math>▼

**הוכחה: <math>T\left(\sum_{i=1}^n\alpha_iu_i\right)=\sum_{i=1}^n T(\alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n\alpha_iT(u_i)</math>▼