|
==העתקה לינארית==
[[קובץ:Kern Mathematik.svg|ממוזער]]
[[קובץ:LinearTransformationToVectorialSpace.png|ממוזער|סקיצת ההעתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה]]
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=העתקה לינארית (קרטריון מקוצר)|
תוכן=
יהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהי הפונקציה <math>T:V\to W</math> פונקציה.
<math>T</math> תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור '''ה"ל''') אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:
יהיו <math>u,v\in V,\alpha\in\mathbb{F}</math> . אזי <math>ST(u+\alpha v)=S\big(T(u+\alpha v)\big)=S\big(T(u)+\alpha T(v)\big)=S(T(u))+\alpha S(T(v))=ST(u)+\alpha ST(v)</math>
==גרעין==
תהי <math>T:V\to W</math> ה"ל. הגרעין של <math>T</math> יוגדר להיות:
*<math>\text{Ker}(T)=\{u\in V|T(u)=\vec 0_W\}\subseteq V</math>
הגרעין של העתקה לינארית, הוא תת-מרחב של המקור. הוכחה: נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:
*<math>T(\vec 0_V)=0_W\rArr\vec 0_V\in\text{Ker}(T)\rArr\text{Ker}(T)\ne\varnothing</math>
*<math>\forall\alpha\in\mathbb{F},u,v\in\text{Ker}(T):T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)=\vec 0_W+\alpha\vec 0_W=\vec 0_W\rArr(u+\alpha v)\in\text{Ker}(T)</math>
האפסיות של T, תוגדר להיות <math>\nu T=\dim(\mbox{Ker}(T))</math>
==תמונה==
תהי <math>T:V\to W</math> ה"ל. התמונה של T תוגדר להיות:
<math>\mbox{Im}(T)=\{T(u)|u\in V\}=\{w\in W|\exists u\in V:T(u)=w\}\subseteq W</math>
התמונה של העתקה לינארית, הוא מרחב וקטורי. הוכחה, ע"פ הקריטריון הקצר:
*<math>T(\vec o_V)\in\mbox{Im}(T)\Rightarrow\mbox{Im}(T)\ne\empty</math>
*<math>\forall\alpha\in\mathbb{F},w_1,w_2\in\mbox{Im}(T),\exists u_1,u_2\in V:T(u_1)=w_1,T(u_2)=w_2\Rightarrow w_1+\alpha w_2=T(u_1)+\alpha T(u_2)=T(u_1+\alpha u_2)\in\mbox{Im}(T)</math>
הדרגה של T, תוגדר להיות <math>\mbox{rank}(T)=\dim(\mbox{Im}(T))</math>
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
| 