מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שחף ו (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
 
שחף ו (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 11:
 
הוכח שהביטוי 2n^2+3n-4 חיובי לכל n טבעי.
שלב א'- בדיקה (זהו מקרה פרטי של הנוסחה!!) עבור n=1. מציבים במקום nבטענה את המספר המבוקש:, ואחרי הצבה מקבלים 1 שהוא מספר חיובי. הבדיקה התקבלה.
<math>2×1^2+3×1-4=5-4=1>0</math>. קיבלנו 1 שהוא מספר חיובי. הבדיקה התקבלה.
שלב ב'- הנחת האינדוקציה- עבור n=k, הביטוי 2k^2+3k-4 חיובי.
שלב ג'- צ"ל, שעבור n=k+1 מתקיים- <div style="text-align:left; direction:ltr;">
<math>2(k+1)^2+3(k+1)-4>0</math>.
</div>
נפתח סוגריים ונפשט את הביטוי ונקבל- <math>2(k^2+2k+1)+3(k+1)-4=2k^2+4k+2+3k+3-4=2k^2+7k+1</math>, כלומר מספיק להוכיח שהביטוי 2k^2+7k+1 חיובי לכל k טבעי. בשביל הפתרון, ניעזר בהנחת האינדוקציה (במקרים אחרים היא הדרך היחידה לפתרון נכון) ונפרק את הביטוי 2k^2+7k+1 כך שיהיה הנחת האינדוקציה ועוד איבר/ים מסוים/מים. משם נותר להוכיח רק לגבי האיבר/ים שהתווספו. נקבל: <math>2k^2+7k+1=2k^2+3k+4k-4+5=2k^2+3k-4+4k+5>0</math>. הביטוי 2k^2+3k-4 הוא הנחת האינדוקציה והוא חיובי לכל k טבעי (נובע מההנחה).
נפתח סוגריים ונפשט את הביטוי ונקבל- <div style="text-align:left; direction:ltr;">
<math>2(k^2+2k+1)+3(k+1)-4=2k^2+4k+2+3k+3-4=2k^2+7k+1</math>
</div>, כלומר מספיק להוכיח שהביטוי 2k^2+7k+1 חיובי לכל k טבעי.
נפתח סוגריים ונפשט את הביטוי ונקבל- <math>2(k^2+2k+1)+3(k+1)-4=2k^2+4k+2+3k+3-4=2k^2+7k+1</math>, כלומר מספיק להוכיח שהביטוי 2k^2+7k+1 חיובי לכל k טבעי. בשביל הפתרון, ניעזר בהנחת האינדוקציה (במקרים אחרים היא הדרך היחידה לפתרון נכון) ונפרק את הביטוי 2k^2+7k+1 כך שיהיה הנחת האינדוקציה ועוד איבר/ים מסוים/מים. משם נותר להוכיח רק לגבי האיבר/ים שהתווספו. נקבל: <math>2k^2+7k+1=2k^2+3k+4k-4+5=2k^2+3k-4+4k+5>0</math>. הביטוי 2k^2+3k-4 הוא הנחת האינדוקציה והוא חיובי לכל k טבעי (נובע מההנחה).
קל להוכיח, שהביטוי 4k+5 הוא ביטוי חיובי לכל k טבעי.
מסקנה- קיבלנו סכום של שני ביטויים חיוביים- שהוא תמיד חיובי. מש"ל.
שורה 29 ⟵ 33:
בהוכחות מסוג זה, צריך להראות שסכום של טור מסוים שווה לביטוי כלשהו.
פה כבר צריך להעזר בהנחת האינדוקציה, ולהציב את הביטוי שהתקבל במה שצריך להוכיח בשלב ג'.
נביט לדוגמה על הטענה הבאה:
לכל n, סכומם של כל המספרים הטבעיים עד n נתון בנוסחה- <div style="text-align:left; direction:ltr;">
n(n+1)/2
</div>
כלומר, מדובר על סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד n.
הטענה קיבלה הוכחה יפה ע"י גאוס עוד בילדותו, אבל זה לא המקום לדון על זה.
להלן ההוכחה של הטענה (את ההסברים הוספתי באנגלית):
<div style="text-align:left; direction:ltr;">
We need to prove that- 1+2+...+n=n(n+1)/2.
 
-lets check the formaula for n=1: 1=1(1+1)/2=2/2=1 --> 1=1.
<להשלים>
the check is correct for n=1.
 
-Lets assume that for n=k, 1+...+k=k(k+1)/2 is correct.
 
-Now we need to prove that for n=k+1, 1+...+k+(k+1)=(k+1)×(k+2)/2 is correct.
The sun 1+...+k is, according to what we assumed, k(k+1)/2.
 
So- k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2.
 
we can reduce (k+1) from bouth sides, and then:
k/2+1=(k+2)/2.
 
After mulpiplying by 2 we'll get k+2=k+2.
The claim is correct.
</div>
הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.
הרעיון שמאחורי הוכחות כאלו הוא:
1. לנסח את מה שצריך להוכיח נכון.
2. לסמן את הביטוי שמופיע בהנחת האינדוקציה ולהציב במקומו את ההנחה.
3. לבצע מספר פעולות חשבוניות עד לקבלת התוצאה המיוחלת.
 
לתרגול עצמי:
1.
א. הוכח באינדוקציה שהסכום של n איברים ראשונים של סדרה חשבונית הוא:
<div style="text-align:left; direction:ltr;">
<math>n*(2a_1+(n-1)d)</math>/2
</div>
ב. חשב, בעזרת הנוסחה שהוכחת בסעיף א', את הסכום של 20 האיברים בסדרה- <div style="text-align:left; direction:ltr;">
1,3,5,....41
</div>