חשבון אינפיניטסימלי/שדה סדור: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות) מ הוספת קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר) באמצעות HotCat |
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 79:
יהי <math>x\in \mathbb{F}</math> שלילי אם <math>x<0_\mathbb{F}</math>
נגדיר <math>x^2:=x*x</math> כריבוע של איקס.
}}
{{טענה|
מספר=6|
שם=כל מספר בחזרה שניה ששונה מאפס גדול מאפס : <math>\forall 0\ne x\in \mathbb{F} \ 0_\mathbb{F}<x^2</math>|
תוכן=
נתון כי <math>x\ne 0</math> ולכן או ש-<math>x<0_\mathbb{F} \ \lor x>0_\mathbb{F}</math>:
# אם <math>x<0_\mathbb{F}</math> אז על פי טענה 1 נקבל <math>x*x>0_\mathbb{F}</math>
# אם <math>x>0_\mathbb{F}</math> אז על פי אקסיומת השדה הסדור <math>x*x>0</math>
}}
{{טענה|
מספר=7|
שם=אם מספר חיובי השבר שלו חיובי (ואם מספר שלילי השבר שלו שלילי):<math>\forall x\in \mathbb{F} \ x>0_\mathbb{F} \Leftrightarrow x^{-1}>0_\mathbb{F}</math> |
תוכן=
מכיוון א, נתון כי <math>x>0</math>. נניח בשלילה כי <math>x^{-1}</math> ולכן מתקיים לפי טענה 2 ש-<math>-x^{-1}>0</math>
נכפיל את <math>x>0</math> ב-<math>-x^{-1}>0</math> ולפי קונסיסטנטיות לכפל מתקיים, <math>x*(-x^{-1})>0*(-x^{-1})</math>
על פי כפל מספרים הופכים וכפל באפס נקבל, <math>1=x*(-x^{-1})>0*(-x^{-1})=0</math> בסתירה לטענה 4.
מכיוון שני, אם <math>0<\frac{1}{x}</math> ונניח בשלילה כי <math>x<0</math> אז מתקיים <math>x*0>\frac{1}{x}*x</math>
על פי כפל מספרים הופכים וכפל באפס, <math>0=x*0>\frac{1}{x}*x=1</math> בסתירה לטענה 4.
}}
| |||