חשבון אינפיניטסימלי/שדה סדור: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
==שדה סדור==
{{הגדרה|
מספר=1|
שורה 7 ⟵ 8:
# תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לחיבור : <math>\forall x,y,z\in \mathbb{F} \ \ x<y \Rightarrow x+z<y+z</math>
# תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לכפל : <math>\forall x,y,z\in \mathbb{F} \ \ (x<y)\land (z>0) \Rightarrow xz<yz</math>
}}
{{הגדרה|
מספר=2|
שם=מספר מקסימלי ומינמלי|
תוכן=<math> \forall x,y\in \mathbb{F} \ \ \ max({x,y})=
\begin{cases}
x & \text{if } x \le y \\
y & \text{if } y \le x
\end{cases}
\ , \ \ \ \
min({x,y})=
\begin{cases}
y & \text{if } x \le y \\
x & \text{if } y \le x
\end{cases}</math>
}}
שורה 64 ⟵ 81:
}}
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=שדה לא סדיר|
תוכן=
ראשית נגדיר <math>2_\mathbb{F}:=1_\mathbb{F}+1_\mathbb{F}</math>.
השדה <math>2_\mathbb{F}</math> בו קיימים שני מספרים אחד ואפס אינו סדור מפני שמתקיים ש- <math>2_\mathbb{F^2}=1_\mathbb{F^2}+1_\mathbb{F^2}=0</math> (ראה גם חשבון מודולרי)
}}
==שדה סדור חלש==
{{הגדרה|
מספר=
שם=סדר חלש|
תוכן=יהי <math>\mathbb{F}(+, *, <)</math> שדה סדור. נאמר שיחס הוא חלש (מסומן: <math>\le</math>) אם מקיים את התכונות הבאות:
שורה 75 ⟵ 103:
}}
{{טענה|
מספר=6|
שם=אי שיוויון המשולש|
תוכן=
}}
{{טענה|
מספר=6|
שם=אי שיוויון המשולש ההפוך|
תוכן=
}}
==מספרים חיובים ושלילים==
{{הגדרה|
מספר=
שם=מספרים חיובים ושלילים|
תוכן=
שורה 88 ⟵ 132:
{{טענה|
מספר=6|
שם=כל מספר
תוכן=
נתון כי <math>x\ne 0</math> ולכן או ש-<math>x<0_\mathbb{F} \ \lor x>0_\mathbb{F}</math>:
שורה 112 ⟵ 156:
}}
{{הגדרה|
מספר=4|
שם=קבוצת המספרים החיובים והשלילים|
תוכן=
קבוצת המספרים החיובים: <math>\mathbb{F}^+:=\{ x\in \mathbb{F}|0_\mathbb{F}<x\} </math>
קבוצת המספרים השליליים: <math>\mathbb{F}^-:=\{ x\in \mathbb{F}|0_\mathbb{F}>x\} </math>}}
}}
{{טענה|
מספר=6|
שם=<math>\mathbb{F}^++\mathbb{F}^+\subseteq \mathbb{F}^+</math>|
תוכן=נתון כי <math>0<x,y\in \mathbb{F}</math> ולכן מתקיים על פי טענה ש-<math>0<x+y</math>.
}}
{{טענה|
מספר=7|
שם=<math>\mathbb{F}^+*\mathbb{F}^+\subseteq \mathbb{F}^+</math>|
תוכן=נתון כי <math>0<x,y\in \mathbb{F}</math> ולכן <math>x*y>0*y=0</math>
}}
{{טענה|
מספר=8|
שם=<math>\mathbb{F}=\mathbb{F}^+\cup 0_\mathbb{F} \cup \mathbb{F}^-</math> |
תוכן=
על פי טריכוטומיה נובע מהגדרה 4 כי <math>\mathbb{F}^+\cap \mathbb{F}^- = \empty</math>
}}
==שדה צפוף==
{{טענה|
מספר=6|
שם=ממוצע של שני מספרים : <math>\forall x,y\in \mathbb{F} \ x<y \Rightarrow x<\frac{x+y}{2} <y</math>|
תוכן=נתון כי <math>x<y</math> :
נוסיף <math>x</math> למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור <math>x+x<y+x</math>
נוסיף <math>y</math> למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור <math>x+y<y+y </math>
על פי טרנזטיביות <math>x+x<x+y<y+y</math>
נחלק בשתים (כפל בהפכי) ונקבל <math>x<\frac{x+y}{2} <y</math>
}}
'''מסקנה:''' בין כל שני איברים בשדה סדור קיים איבר נוסף ולכן השדה הוא '''צפוף'''
==שדה אינסופי ==
{{טענה|
מספר=7|
שם=שדה סדור מכיל אינסוף איברים שונים|
תוכן=נניח בשלילה כי קיים שדה סדור המכיל מספר סופי של איברים המקיימים: <math>a_1<a_2<...<a_n </math>
על פי אקסיומות השדה <math>1_\mathbb{F}\in \mathbb{F}</math>.
בשל הסגירות של החיבור <math>a_n+1_\mathbb{F} \in \mathbb{F}</math> אבל <math>a_n<a_n+1_\mathbb{F}</math>
בסתירה לכך שהשדה מכיל את סדרת האיברים: <math>a_1<a_2<...<a_n </math>
}}
==ערך מוחלט==
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
| |||