חשבון אינפיניטסימלי/שדה סדור: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 80:
על פי טרנזטיביות נקבל <math>x+z<y+w</math>
}}
{{דוגמה|
שורה 101 ⟵ 100:
#תאימות עם חיבור: <math>\forall x,y,z \in \mathbb{F} x \le y \ \Rightarrow x+z \le y+z</math>
#תאימות עם כפל:<math>\forall x,y,z \in \mathbb{F} (x \le y \ \land \ z>0_\mathbb{F}) \Rightarrow xz \le yz</math>
}}
שורה 163 ⟵ 148:
קבוצת המספרים השליליים: <math>\mathbb{F}^-:=\{ x\in \mathbb{F}|0_\mathbb{F}>x\} </math>}}
{{טענה|
מספר=
שם=<math>\mathbb{F}^++\mathbb{F}^+\subseteq \mathbb{F}^+</math>|
תוכן=נתון כי <math>0<x,y\in \mathbb{F}</math> ולכן מתקיים על פי טענה ש-<math>0<x+y</math>.
שורה 174 ⟵ 157:
{{טענה|
מספר=
שם=<math>\mathbb{F}^+*\mathbb{F}^+\subseteq \mathbb{F}^+</math>|
תוכן=נתון כי <math>0<x,y\in \mathbb{F}</math> ולכן <math>x*y>0*y=0</math>
שורה 181 ⟵ 164:
{{טענה|
מספר=
שם=<math>\mathbb{F}=\mathbb{F}^+\
תוכן=
הסימון <math>\uplus</math> הוא סימון לאיחוד קבוצות זרות.
מכיוון ראשון עלינו להראות כי מקיים ש- <math>\mathbb{F}^+\uplus 0_\mathbb{F} \uplus \mathbb{F}^-\subseteq \mathbb{F}</math>
על פי טריכוטומיה נובע כי <math>\mathbb{F}^+\cap \mathbb{F}^- = \empty</math> ולכן הקבוצות זרות (לא יתכן שאיבר נגדי גדול מאפס וגם הנגדי שלו)
לכן <math>\mathbb{F}^+\uplus 0_\mathbb{F} \uplus \mathbb{F}^-\subseteq \mathbb{F}</math>
מכיוון שני, עלינו להראות כי מקיים ש- <math>\mathbb{F}^+\uplus 0_\mathbb{F} \uplus \mathbb{F}^-\supseteq \mathbb{F}</math>, כלומר כל איבר נמצא רק באחת מבין שלושת הקבוצות.
הטענה הזו נכונה מטריכוטומיה.
}}
{{טענה|
מספר=11|
שם=<math>\mathbb{F}^+</math> סגורה לחיבור ולכפל|
תוכן=
<math>\mathbb{F}^+</math> סגורה לחיבור ולכפל כלומר יש להראות כי:
# <math>\forall x,y\in \mathbb{F}^+ \ x+y\in \mathbb{F}^+</math>
# <math>\forall x,y\in \mathbb{F}^+ \ xy\in \mathbb{F}^+
</math>
הוכחנו זאת בטענה 7 ו-8
}}
==שדה צפוף==
{{טענה|
מספר=
שם=ממוצע של שני מספרים : <math>\forall x,y\in \mathbb{F} \ x<y \Rightarrow x<\frac{x+y}{2} <y</math>|
תוכן=נתון כי <math>x<y</math> :
שורה 205 ⟵ 211:
==שדה אינסופי ==
{{טענה|
מספר=
שם=שדה סדור מכיל אינסוף איברים שונים|
תוכן=נניח בשלילה כי קיים שדה סדור המכיל מספר סופי של איברים המקיימים: <math>a_1<a_2<...<a_n </math>
שורה 217 ⟵ 223:
==ערך מוחלט==
{{הגדרה|
מספר=5|
שם=ערך מוחלט|
תוכן= יהי <math>\mathbb{F}(+,*,<)</math> שדה סדור.
<math>\forall x\in \mathbb{F} \ \ \ |x|=\begin{cases}
x & \text{if } x>0_\mathbb{F} \\
0_\mathbb{F} & \text{if } x=0_\mathbb{F} \\
-x & \text{if } x<0_\mathbb{F}
\end{cases}
</math>
}}
{{הגדרה|
מספר=6|
שם=הסימן (sgn) של <math>x</math>|
תוכן= יהי <math>\mathbb{F}(+,*,<)</math> שדה סדור.
<math>\forall x\in \mathbb{F} \ \ \ sgn(x)=\begin{cases}
1_\mathbb{F} & \text{if } x>0_\mathbb{F} \\
0_\mathbb{F} & \text{if } x=0_\mathbb{F} \\
-1_\mathbb{F} & \text{if } x<0_\mathbb{F}
\end{cases}
</math>
}}
{{טענה|
מספר=14|
שם=<math>\forall x\in \mathbb{F} |x|=max\{x, -x\}</math>|
תוכן=
# אם <math>x=0_\mathbb{F}</math> אזי מתקיים כי <math>|x|=|0|</math> וערכו המקסימלי אפס.
# אם <math>x>0_\mathbb{F}</math> אז מתקיים <math>max\{x,-x\}=x</math> ואכן מתקיים ע"פ הגדרה עבור <math>x>0_\mathbb{F}</math> שערך המוחלט שלו הוא <math>|x| = x</math>
# אם <math>x<0_\mathbb{F}</math> אז מתקיים <math>max\{x,-x\}=-x</math> ואכן מתקיים ע"פ הגדרה עבור <math>x<0_\mathbb{F}</math> שערך המוחלט שלו הוא <math>|x| = -x</math>
}}
{{טענה|
מספר=15|
שם=<math>\forall x\in \mathbb{F} \ |x|=x*sgn(x)</math>|
תוכן=}}
{{טענה|
מספר=16|
שם=<math>\forall x\in \mathbb{F} \ x=|x|*sgn(x)</math>|
תוכן=}}
{{טענה|
מספר=17|
שם=<math>0_\mathbb{F}\le |x|</math>|
תוכן=נובע מהגדרת ערך המוחלט
}}
{{טענה|
מספר=18|
שם=<math>0_\mathbb{F}= |x| \Leftrightarrow x=0_\mathbb{F}</math>|
תוכן=
מכיוון ראשון נתון כי <math>x=0_\mathbb{F}</math> על פי הגדרת ערך המוחלט נקבל כי <math>|x|=0_\mathbb{F}</math>
מכיוון שני נתון כי <math>|x|=0_\mathbb{F}</math>
על פי טענה 16 <math>x=|x|sgn(x)=0_\mathbb{F}*sgn(x)=0_\mathbb{F}</math>
}}
{{טענה|
מספר=19|
שם=סימטריה: <math>|x|=|-x|</math>|
תוכן=נובע מהגדרת min ו-max}}
{{טענה|
מספר=20|
שם=<math>\forall x,y \in \mathbb{F} \ \ sgn(xy) = sgn(x)*sgn(y)</math>|
תוכן=}}
{{טענה|
מספר=21|
שם=<math>\forall x,y \in \mathbb{F} \ \ |xy|=|x||y|</math>|
תוכן=על פי טענה 16 <math>|xy|=(xy)*sgn(xy)</math>
על פי טענה 20: <math>(xy)*sgn(xy)=xy*(sgn(x)*sgn(y))=xsgn(x)*ysgn(y)</math>
על פי טענה 16:<math>xsgn(x)*ysgn(y)=|x||y|</math>
}}
{{טענה|
מספר=22|
שם= <math>-|x|\le x \le |x|</math>|
תוכן=
#אם <math>x=0</math> מתקיים <math>-|0|\le 0 \le |0|</math> והטענה נכונה.
# אם <math>x>0</math> על פי טענה 14 מתקיים <math>max\{-x, x\}=x</math> וגם <math>min{-x,x}=-x=-|x|</math>
# אם <math>x<0</math> על פי טענה 14 מתקיים <math>max\{-x, x\}=-x=|x|</math> וגם <math>min{-x,x}=-(-x)=-|-x|</math> ועל פי טענה 19 <math>min{-x,x}=-(-x)=-|-x|=-|x|</math>
}}
{{טענה|
מספר=23|
שם=אם <math>0_\mathbb{F}\le y</math> אז <math>|x|<y \Leftrightarrow -y<x<y</math>|
תוכן=}}
{{טענה|
מספר=24|
שם=אם <math>0_\mathbb{F}\le y</math> אז <math>|x|\le y \Leftrightarrow -y\le x\le y</math>|
תוכן=
מכיוון ראשון נתון כי <math>|x|\le y</math>
נעביר אגפים ונקבל <math>-y\le -|x|</math>
על פי משפט 22 מתקיים: <math>-|x|\le x \le |x|</math>
נציב ונקבל <math>-y\le -|x|\le x \le |x|\le y</math>
מכיוון שני, מתכון כי <math>-y\le x \le y</math>:
ראשית נובע כי <math>x\le y</math>.
שנית, נתון כי <math>-y\le x</math> ולכן <math>-x\le y</math>
על פי הגדרת ערך מוחלט <math>|x|\le y</math>
}}
===אי שיוויון המשולש===
{{טענה|
מספר=25|
שם=<math>\forall x,y\in \mathbb{F} \ |x+y|\le |x|+|y|</math>|
תוכן=נתון כי <math>|x|\le |y|</math> ולכן מתקיים:
# <math>-\left\vert x \right\vert \leq x \leq \left\vert x \right\vert</math>
# <math>-\left\vert y \right\vert \leq y \leq \left\vert y \right\vert</math>
נחבר את המשוואות :<math>-( \left\vert x \right\vert + \left\vert y \right\vert ) \leq x+y \leq \left\vert x \right\vert + \left\vert y \right\vert</math>
על פי טענה 24:<math>|x + y| \leq |x|+|y|</math>
}}
{{טענה|
מספר=26|
שם= <math>\bigg||x|-|y|\bigg| \le |x-y| </math>|
תוכן= יש להראות כי מתקיים ש- <math>-|x-y|\le |x|-|y|\le |x-y|</math> ועל פי הגדרת ערך המוחלט - סיימנו.
נציב בטענה 25, <math>x=x-y+y</math> ונקבל <math>|x -y + y | \leq |x-y|+|y|</math>
נוסיף איבר נגדי, <math>|x -y + y | - |y|\leq |x-y|</math>
<math>|x|-|y|\le |x-y|</math>
מכיוון שני, על פי סימטריות מתקיים כי <math>|-x|-|-y|\le |x-y|</math>
נוציא את המינוס ונקבל <math>-|x|+|y|\le |x-y|</math>
נעביר אגפים ונקבל <math>-|x-y|\le |x|-|y|</math>
על פי טענה 24 נקבל כי <math>\bigg||x|-|y|\bigg| \le |x-y|</math>
}}
===מרחק===
{{הגדרה|
מספר=7|
שם=מרחק|
תוכן= יהי <math>\mathbb{F}(+,*,<)</math> שדה סדור. המרחק של <math>x</math> מ-<math>y</math> הוא <math>dist(x,y)=|x-y|</math>
{{טענה|
מספר=27|
שם= <math>dist(x,y)=dist(y,x)</math>|
תוכן=
}}
{{טענה|
מספר=28|
שם= <math>dist(x,z)\le dist(x,y) + dist(y,z)</math>|
תוכן=
}}
{{טענה|
מספר=29|
שם=<math>0_\mathbb{F}\le dist(x,y)</math> |
תוכן=
}}
{{טענה|
מספר=30|
שם= <math>0_\mathbb{F}=dist(x,y)\Leftrightarrow x=y</math>|
תוכן=
}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
| |||