חשבון אינפיניטסימלי/חסימות ואיבר מינימלי: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
==מינמום==
{{הגדרה|
מספר=1|
שורה 4 ⟵ 5:
תוכן=יהי <math>\mathbb{F}(+,*,<)</math> שדה סדור ותהי תת קבוצה <math>A\subseteq \mathbb{F}</math>.
# <math>m\in A</math>
{{טענה|
שורה 19 ⟵ 22:
}}
==מקסימום==
==חסימות בטבעים==
{{משפט|
מספר=1|
שורה 47 ⟵ 53:
}}
==חסימות בשדה==
{{הגדרה|
מספר=2|
שם=קבוצה חסומה מלמעלה/מלעיל בשדה|
תוכן=<math>\exists S\in \mathbb{F} \ \ \forall a\in A \ a\le S</math>
}}
שורה 62 ⟵ 69:
{{הגדרה|
מספר=4|
שם=קבוצה חסומה מלמטה/מלרע בשדה|▼
תוכן=<math>\exists I\in \mathbb{F} \ \ \forall a\in A \ a\ge I</math>
}}
{{הגדרה|
מספר=5|
שם=קבוצה חסומה |
תוכן=<math>\exists S\in \mathbb{F} \ \ \forall a\in A \ |a|\le S</math>
}}
==חסם עליון ותחתון==
{{הגדרה|
מספר=
שם=חסם עליון (lub\supermum)|
▲שם=קבוצה חסומה מלמטה בשדה|
תוכן=
▲תוכן=<math>\exists I\in \mathbb{F} \ \ \forall a\in A \ a\ge I</math>
[[File:Supremum.png|thumb|החסם העליון גדול מכל איברי הקבוצה <math>a</math>. אם הסופרמום הוא מקסימום של הקבוצה הוא יכול להיות גם שווה לאחד מאיברי הקבוצה. אם נצעד אפסילון (מעט מאוד) צעדים נגיע אל איברי הקבוצה]]
תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{A}</math>. נאמר ש-<math>s\in\mathbb{R}</math> הוא חסם עליון של הקבוצה אם:
# <math>\forall a\in A a\le s</math>
#<math>\forall \epsilon>0 \ \exists a\in A \ s-\epsilon<a\le s </math> כלומר לא קיים חסם קטן יותר ממנו.
}}
{{טענה|
מספר=2|
שם=קיים סופרמום יחיד לקבוצה|
שם=תהי <math>\empty \not\ne A\subseteq \mathbb{N}</math> חסומה מלמעלה בטבעים אז יש ב-<math>A</math> איבר מקסימלי|▼
תוכן= נניח בשלילה כי קיימים שני סופרמומים לקבוצה לא ריקה A ונסמנם <math>s,s'</math>.
עבור <math>s</math>: <math>\exists s\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ s\le a</math> על כן <math>s'\ge s</math>
עבור <math>s'</math>: <math>\exists s'\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ s'\le a</math> על כן <math>s\ge s'</math>
מכאן ש-<math>s=s'</math>
}}
{{הגדרה|
מספר=6|
שם=חסם תחתון (infimum / glb)|
תוכן=תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{F}</math>. נאמר ש-<math>I\in\mathbb{R}</math> הוא חסם תחתון של הקבוצה אם:
# <math>\forall a\in A a\ge s</math>
#<math>\forall \epsilon>0 \ \exists a\in A \ I<a<I+\epsilon </math>
}}
{{טענה|
מספר=3|
שם=קיים אינפימום יחיד לקבוצה|
תוכן=
}}
{{משפט|
מספר=1|
▲שם=עקרון החסם העליון: תהי <math>\empty
תוכן=
נתון כי <math>A</math> חסומה מלמעלה.
נסמן: <math>\empty\ne U\subset \mathbb{F}</math> קבוצת כל החסמים מלמעלה של הקבוצה <math>A</math>, בהכרח לא ריקה (הרי הקבוצה A חסומה מלמעלה).
על פי אקסיומת השלמות קיים <math>c\in\mathbb{R}</math> יחיד כך ש-<math>\forall a\in A \ \forall u\in U \ a\le c \le u</math>
כלומר <math>c=supA</math> מפני שהוא :
#<math>\forall a\in A \ a\le c</math>
#<math>c</math> הוא החסם הקטן ביותר בקבוצת החסמים <math>U</math>
}}
{{משפט|
מספר=1|
שם=עקרון החסם התחתון:: תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{F}</math> חסומה מלמטה אזי יש לקבוצה חסם מלמטה בממשים|
תוכן=
}}
{{טענה|
מספר=4|
שם=תהי <math>\mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R}|0<x\}</math> אזי <math>inf(\mathbb{R^+})=0</math>
|
תוכן=
אפס הוא חסם מלרע של <math>\mathbb{R}^+</math> על פי הגדרה.
נניח בשלילה כי קיים חסם תחתון קטן יותר מאפס כלומר <math>I>0</math>.
יהי <math>\frac{I}{2}\in\mathbb{R}^+</math>.
<math>\frac{I}{2}<I</math> כלומר <math>I</math> אינו חוסם אותו למרות שהוא שייך לקבוצה ולכן <math>I
</math> אינו חסם של הקבוצה. על כן <math>I\le0</math>
}}
| |||