חשבון אינפיניטסימלי/ממשים ושדה שלם: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות) מ הוספת קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר) באמצעות HotCat |
Mathreturn (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
==הצורך באי רציונלים==
{{טענה|
מספר=1|
שורה 40 ⟵ 41:
}}
==ממשים==
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=האי רציונליים |
תוכן=קבוצת הרציונליים של השדה <math>\mathbb{F} \backslash \mathbb{Q}=\{x\in\mathbb{F}|x\notin \mathbb{Q}\}</math>
במידה והשדה הוא כל המספרים הרציונלים מתקיים <math>\mathbb{F} \backslash \mathbb{Q}=\empty</math>
}}
{{הגדרה|
מספר=2|
שם=קיים שדה אחד |
תוכן= כל שדה, למשל השדה <math>(\mathbb{F_2},+,*)</math>, הוא אחד ויחיד.
במידה וקיים לו שדה איזומורפי, בהמשך הדוגמה, שדה עם שני האיברים <math>a,b</math> ושדה איזומורפי עם שני האיברים <math>\triangle, \square</math>, נתייחס כאילו השדות האיזומורפיים הם אותו שדה.
}}
{{שקול לדלג|שקול לדלג על ההוכחה של אקסיומת השלמות ולחזור אחרי סדרות ולמדת משפט קנטור}}
{{משפט|
מספר=1|
שם=אקסיומת השלמות: יהי <math>(\mathbb{F},+,*,<)</math> נאמר שהשדה שלם אם לכל שתי תתי קבוצות <math> \empty\ne L, U \subseteq\mathbb{F}</math> המקיימות <math>\forall l\in L \ \forall u\in U\ l\le u</math> קיים <math>c\in\mathbb{F}</math> יחיד כך ש- <math>\forall l\in L \ \forall u\in U \ l\le c \le u</math>
|
תוכן=תהי <math>\empty \ne S\subseteq\mathbb{F}</math> תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי <math>u_1</math>.
יהי <math>u<u_1\in\mathbb{Q}</math> ולכן בעצמו חסם מלעיל.
מכיוון ש-<math>S</math> קבוצה לא ריקה קיים בשדה מספר רציונלי <math>l_1\in\mathbb{F}</math> שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי <math>l<s</math>.
כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם <math>a_n=\frac{u_n+l_n}{2}</math> חסם מלעיל אז <math>u_{n+1}=a_n</math> ו-<math>l_{n+1}=l_n</math>, אם הוא אינו חסם מלעיל אז <math>l_{n+1}=a_n</math> ו-<math>u_{n+1}=u_n</math>.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-<math>r</math>. קל להראות באינדוקציה כי לכל <math>n</math> טבעי <math>u_n</math> חסם מלעיל ל-<math>S</math> בעוד ש-<math>l_n</math> לא, מעובדה זו נובע כי <math>r</math> חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר.
נניח כי <math>t</math> מקיים <math>t < r</math>, אז קיים <math>n_0</math> טבעי עבורו <math>t < l_{n_0}</math>, ומכיוון ש-<math>\{l_n\}_{n=1}^\infty</math> מונוטונית עולה נקבל כי לכל <math>n\geq n_0</math> גם מתקיים <math>t < l_n</math>, אך ראינו כבר ש-<math>l_n</math> אינו חסם מלעיל ולכן <math>t</math> שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.
}}
{{משפט|
מספר=2|
שם=ארכימדיוס - הטבעים אינם חסומים בממשים: תהי <math>A</math> תת קבוצה אינדוקטיבית של <math>\mathbb{R}</math> אזי <math>A</math> אינה חסומה מלעיל|
תוכן=
תהי <math>A\ne\empty</math> קבוצה אינדוקטיבית לא ריקה (מפני <math>1\in A</math>) של הממשיים.
נניח בשלילה כי <math>A</math> חסומה. על פי עקרון החסם העליון קיים <math>supA</math> בממשיים.
נלך אפסילון צעדים לאחור, <math>M-1<M</math> ולכן אינו חסם של קבוצה.
לחילופין <math>M-1\in A</math> ולכן מתקיים ש- <math>\forall \epsilon>0 \exists a\in A \ M-\epsilon<a\le M</math>
נציב את האפסילון שלנו ונקבל <math>M-1<a</math>
נעביר אגפים ונקבל <math>M<a+1\in A</math> (כי A קבוצה אינדוקטיבית) אך מכך נובע ש-M אינו חסם ולכן כל קבוצה האינדוקטיבית אינה חסומה בממשים, כולל הטבעים.
}}
{{טענה|
מספר=2|
שם=<math>\forall \epsilon>0 \exists n\in\mathbb{N} \ 0<\frac{1}{n}<\epsilon</math>|
תוכן=נניח בשלילה כי מתקיים <math>exists \epsilon>0 \ \forall n\in\mathbb{N} \frac{1}{n}\gen</math>
אבל מכך נובע שהטבעים חסומים ולכן סותר את עקרון הארכימדיות.
{{משפט|
מספר=3|
שם=תכונת שקולה לתכונת הארכימדס: <math>\exists b,0<a\in\mathbb{R} \Rightarrow \exists n\in\mathbb{N} b<na</math>|
תוכן=מכיוון ראשון, נניח בשלילה כי <math>\forall n\in\mathbb{N} na\le b</math> אזי מתקיים <math>n\le\frac{b}{a}</math> בסתירה לארכימדיות.
מכיוון שני, נציב <math>a=1</math> כך שלכל <math>\forall b\in\mathbb{R}\ \exists n\in\mathbb{n} \ s.t \ b<n</math> בסתירה לארכימדיות.
}}
{{הגדרה|
מספר=3|
שם=שדה לא ארכימדי |
תוכן= שדה בו הטבעים אינם חסומים נקרא שדה לא ארכימדי}}
{{משפט|
מספר=4|
שם=אקסיומת השלמות (נוסח שני): תהי
|
תוכן=}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
| |||