חשבון אינפיניטסימלי/ממשים ושדה שלם: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
Mathreturn (שיחה | תרומות)
שורה 98:
{{טענה|
מספר=2|
שם=<math>\forall \epsilon>0 \exists n\in\mathbb{N} \ 0 < \frac{1}{n}< \epsilon</math>|
תוכן=נניח בשלילה כי מתקיים <math>\exists \epsilon>0 \ \forall n\in\mathbb{N} \frac{1}{n}\genge n </math>
 
אבל מכך נובע שהטבעים חסומים ולכן סותר את עקרון הארכימדיות.
}}
 
{{משפט|
שורה 128 ⟵ 129:
 
נתון כי <math>S=supA</math> הוא בהכרח חסם מלמעלה לכל <math>a\in A</math>.
<br>
 
יהי <math>x\in\mathbb{R}</math> כך ש-<math>x<b</math>.
<br>
 
<math>x</math> אינו חסם של <math>A</math> מפני שנתון כי <math>S</math> סופרמום שלה וקיים רק סופרמום יחיד.
<br>
 
לכן <math>\forall \epsilon>0 \exists a\in A \ s-\epsilon<a\le s</math> בהכרח מתקיים <math>\exists a\in A \ x<a</math>
<br>
 
ועל כן <math>\forall a\in A, x\in\mathbb{F} \ x<a\le b</math>
<br>
 
סעיף ב' גורר סעיף ג':
<br>
נתון כי <math>S</math> הוא חסם מלמעלה. צריך להראות כי מתקיים <math>\forall \epsilon>0 \exists a\in A \ s-\epsilon<a</math>
<br>
יהי <math>x=s-\epsilon</math> על פי הנתון בסעיף 2 מתקיים <math>x<a\le s</math> ולכן <math>S</math> חסם עליון.
<br>
 
סעיף ג' גורר סעיף א':
<br>
נתון כי <math>S</math> חסם עליו. נניח בשלילה כי קיים חסם עליון אחר קטן יותר ממנו, <math>s_0<S</math> המקיים <math>\forall \epsilon>0 \exists a\in A \ s_0-\epsilon<a</math>
 
יהי <math>\epsilon = s-s_0>0</math> נציב ב-<math>a>s-\epsilon=s-(s-s_0)=s_0</math> כלומר קבלנו ש-<math>s_0<a</math> הוא איבר שקטן ממש מאיבר אחר בקבוצה ולכן אינו חסם.