חשבון אינפיניטסימלי/ממשים ושדה שלם: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות) |
Mathreturn (שיחה | תרומות) |
||
שורה 75:
נניח כי <math>t</math> מקיים <math>t < r</math>, אז קיים <math>n_0</math> טבעי עבורו <math>t < l_{n_0}</math>, ומכיוון ש-<math>\{l_n\}_{n=1}^\infty</math> מונוטונית עולה נקבל כי לכל <math>n\geq n_0</math> גם מתקיים <math>t < l_n</math>, אך ראינו כבר ש-<math>l_n</math> אינו חסם מלעיל ולכן <math>t</math> שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.
}}
{{משפט|
שורה 92 ⟵ 91:
נעביר אגפים ונקבל <math>M<a+1\in A</math> (כי A קבוצה אינדוקטיבית) אך מכך נובע ש-M אינו חסם ולכן כל קבוצה האינדוקטיבית אינה חסומה בממשים, כולל הטבעים.
}}
שורה 109 ⟵ 106:
תוכן=מכיוון ראשון, נניח בשלילה כי <math>\forall n\in\mathbb{N} na\le b</math> אזי מתקיים <math>n\le\frac{b}{a}</math> בסתירה לארכימדיות.
מכיוון שני, נציב <math>a=1</math> כך שלכל <math>\forall b\in\mathbb{R}\ \exists n\in\mathbb{n} \ s.t \ b<n</math> בסתירה לארכימדיות. }}
{{הגדרה|
שורה 150 ⟵ 145:
נתון כי <math>S</math> חסם עליו. נניח בשלילה כי קיים חסם עליון אחר קטן יותר ממנו, <math>s_0<S</math> המקיים <math>\forall \epsilon>0 \exists a\in A \ s_0-\epsilon<a</math>
יהי <math>\epsilon = s-s_0>0</math> נציב ב-<math>a>s-\epsilon=s-(s-s_0)=s_0</math> כלומר קבלנו ש-<math>s_0<a</math> הוא איבר שקטן ממש מאיבר אחר בקבוצה ולכן אינו חסם. }}
{{משפט|
מספר=5|
שם=למת החתכים:יהי <math>\empty \ne L, U\subset \mathbb{R}</math> כך <math>\forall l\in L \ u\in U \ l\le u</math> אזי מתקיים:
#קיים <math>c\in\mathbb{R}</math> כך ש- <math>\forall l\in L \forall u\in U l\le c\le u</math>
# <math>sup(L)=inf(U)</math>
#<math>\forall \epsilon>0 \ \exists l\in L \ \exists u\in U \ u-l\le \epsilon</math>
|
תוכן=
'''סעיף 1 גורר סעיף 2:'''
נוכיח כי מתקיים: '''יהי <math>\empty \ne L, U\subset \mathbb{R}</math> כך <math>\forall l\in L \ u\in U \ l\le u</math> אזי קיים <math>sup(L)</math> ו-<math>Inf(u)</math> מתקיים <math>sup(L)\le inf(u)</math>
'''
יהי <math>u \in U</math> מתקיים <math>\forall l\in L\ l\le u</math> ולכן <math>u</math> הוא חסם מלעיל של <math>L\ne\empty</math>
מתכונת החסם העליון נובע שיש <math>sup(L)\le u</math> והוא נכון לכל איבר בקובצה ולכן <math>sup(L)</math> הוא חסם מלמטה של הקבוצה <math>U</math>
מתכונת החסם התחתון נובע שיש <math>l\le inf(u)</math> והוא נכון לכל איבר בקבוצה ולכן מתקיים <math>sup(L)\le inf(U)</math>
הוכחנו כי מתקיים ש- <math>sup(L)\le inf(U)</math>. נניח בשלילה קיים <math>c</math> אבל <math>l\le sup(L)< inf(U)\le u</math>
על פי סעיף א' קיים <math>c\in\mathbb{R}</math> בין <math>\forall l\in L \forall u\in U l\le c\le u</math> ולכן מתקיים <math>c=inf(U)</math> או <math>sup(L)=c</math> ומכאן ש-<math>inf(U)\le sup(L) \land sup(L)\le inf(U)</math> כלומר <math>Inf(U)=sup(L)</math>
'''סעיף 2 גורר סעיף 3:'''
יהי <math>\epsilon>0</math>.
נתון כי קיים <math>l=sup(L)</math>. יהי <math>sup(L)-\frac{\epsilon}{2}<l</math>
נתון כי קיים <math>u=inf(u)</math>. יהי <math>u<inf(u)+\frac{\epsilon}{2}</math>
נחבר את אי השוויוניים ונקבל, <math>u+sup(L)-\frac{\epsilon}{2}<inf(u)+\frac{\epsilon}{2}+L</math>
נעביר אגפים, <math>u-l<inf(u)-sup(L)+\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}</math>
נתון <math>sup(L)=inf(U)</math> ולכן נקבל<math>u-l<\epsilon</math>
'''סעיף 3 גורר סעיף 1:
נניח בשלילה כי קיימים <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> כך ש-<math>c_1<c_2</math> ו-<math>\forall l\in L \ \forall u\in U \ l\le c_1\le c_2\le u</math>
נכפיל במינוס אחד את אי השיוויון <math>l\le c_1</math> ונקבל <math>\forall l\in L \ -c_1\le -l</math>
נחבר את אי השיוויון עם <math>c_2\le u</math> ונקבל <math>c_1<c_2</math> ו-<math>\forall l\in L \ \forall u\in U \ c_2-c_1\le u-l</math>
יהי <math>2\epsilon= c_2-c_1 \leftrightarrow \epsilon=\frac{c_2-c_1}{2}>0</math> אזי על פי סעיף 3 מתקיים <math>\underbrace{c_2-c_1}_{2\epsilon} \le u-l<\epsilon</math> בסתירה לטריכוטומיה.
}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
| |||