|
=משוואות לינאריות עם נעלם יחיד=
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=משוואה ליניאריתלינארית|
תוכן=משוואה ליניאריתלינארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה וניתנת לייצג, <math>ax+b=c</math> כאשר <math>a,c,d\in \R</math> מספרים בשדה, ו-ו־<math>x</math> הינוהנו פתרון של המשוואה
}}
===כאשר <math>a=1</math>===
כאשר <math>a=1</math> נקבל את המשוואה <math>x+b=c</math> ולכן מתקיים:
# <math>c<d</math> קיים פתרון למערכת ב-ב־<math>\N</math>
# <math>c\le d</math> ישקיים פתרון למערכת ב-ב־<math>\N_0 = \N \cup \{0\}</math>
# <math>c>d</math> ישקיים פתרון ב-ב־<math>\Z</math>
===כאשר <math>a\ne 0ne0</math>=== :
*לכל <math> a,c,d\in \Q </math> אם <math>a\ne 0</math> יש למשוואה <math>ax+b=c</math> פתרון יחיד ב-ב־<math>\Q</math> ▼
{{משפט|
מספר=1|
שם=פתרון יחיד ב-<math>\Q</math>|
תוכן=
▲לכל <math>a,c,d\in \Q</math> אם <math>a\ne 0</math> יש למשוואה <math>ax+b=c</math> פתרון יחיד ב-<math>\Q</math>
}}
===כאשר <math>a= 0</math>=== :
*לכל <math>a,c,d\in \Q</math> אם <math>a= 0</math> יש למשוואה <math>ax+b=c</math> פתרון ב-ב־<math>\Q</math> אם <math>c\ne d</math>
* לכל <math>a,c,d\in \Q</math> אם <math>a= 0</math> יש למשוואה <math>ax+b=c</math> אינסוף פתרונות ב-ב־<math>\Q</math> אם <math>c= d</math>
==משוואה לינארית שם שני נעלמים==
מספר=1|
שם=משוואה לינארית שם שני נעלמים|
תוכן=משוואה לינארית בסדרת משתנים <math>(x,y)</math> עם מקדמים <math>a,b\in \R</math> הינההנה משוואה מהצורה <math>ax+by=c</math>
}}
מספר=2|
שם=אוסף הפתרונות למשוואה עם שני נעלמים|
תוכן=אם <math>a, b\in \R</math> אינם מתאפסים בו בעת אז אוס,אוסף הפתרונות למשוואה <math>ax+by=c</math> מהווה ישר במישור
}}
=משוואה ליניאריתלינארית ב-nב־n נעלמים=
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=משוואה ליניאריתלינארית ב-nב־n נעלמים|
תוכן=משוואה ליניאריתלינארית ב-ב־<math>n</math> נעלמים עם מקדמים <math>a_1,a_2\ldots,...a_n\in F</math> בשדה היא משוואה מהצורה
: <math>ax_1a_1x_1+a_2x_2+...\cdots+a_nx_n=b</math>
כאשר ה'''נעלמים''' <math>x_1,...\ldots,x_n</math> ממעלה ראשונה ו-ו־<math>b\in F</math> מייצג את פתרון המערכת ונקרא '''מקדם חופשי'''.
}}
ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, <math>ax_1+a_2x_2+...\cdots+a_nx_n=\sum_{j=i}^N ajxiNa_jx_i</math>
{{הגדרה|
מספר=2|
שם=מערכת m משוואות ליניאריותלינאריות ב-nב־n נעלמים|
תוכן=
מערכת עם n<math>m</math> משוואות ו-ו־<math>n</math> נעלמים:
:<math>m\begin{cases}\overbrace{a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n}^{n}=b_1\\\vdots\quad\quad\\a_{n1}x_1+\cdots+a_{nn}x_n=b_m\end{cases}</math>
תהי מערכת משוואות ותסומן <math>Ax=b</math> <ref>{{הערה|יש כאן קשר ישיר לכפל מטריצות. אתם מוזמנים לחזור לפה אחרי שתלמדו כפל במטריצה ולנסות לבדוק למה זה באמת כפל מטריצות). </ref>}}}} ▼<math>
m
\begin{cases}
\overbrace{a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n}^{n}=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3n}x_n=b_3\\
\vdots\quad\quad\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
\end{cases}
</math>
▲תהי מערכת משוואות ותסומן <math>Ax=b</math><ref>יש כאן קשר ישיר לכפל מטריצות. אתם מוזמנים לחזור לפה אחרי שתלמדו כפל במטריצה ולנסות לבדוק למה זה באמת כפל מטריצות).</ref>}}
===פתרונות של המערכת===
*מערכת משוואות קונסיסטנטית- – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
* מערכת משוואות הומוגנית -– מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריוויאלית, כלומר שווה לאפס או במילים אחרות <math>
:<math>\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\end{bmatrix}</math>
\left [
* מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות -– כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמהלדוגמא <math> 0*x0x=0</math> או <math>▼\begin{matrix}
:<math>\begin{cases}0x+y+2z=-1\\z+y=3\end{cases}</math>
b_1\\ b_2 \\ . \\ . \\ . \\b_n
*מערכת משוואות לינארית עם <math>n </math> נעלמים ללא פתרונות -– מערכת משוואות מהצורה <math>0x+0y=2</math> ▼
* מערכת משוואות עם פתרון יחיד -– כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים. ▼\end{matrix}
* מערכת משוואות עם אוסף פתרונות -– כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות. ▼\right ]
=
\left [
\begin{matrix}
0\\ 0 \\ . \\ . \\ . \\0
\end{matrix}
\right ]
</math>.
▲* מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות - כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמה <math>0*x=0</math> או <math>
\begin{cases}
0x+y+2z=-1\\
z+y=3
\end{cases}
</math>
▲*מערכת משוואות לינארית עם n נעלמים ללא פתרונות - מערכת משוואות מהצורה <math>0x+0y=2</math>
▲* מערכת משוואות עם פתרון יחיד - כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
▲* מערכת משוואות עם אוסף פתרונות - כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.
| 