מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
אין תקציר עריכה
מ
 
 
==חזרה - התנהגות הפונקציה ביחס ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]]==
נחזור בשנית ונסביר לעמוקלעומק על הנושא שהוסבר בפרק [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הנגזרת]] ויושם בפרק [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת קיצון]]. אולם, הנושא מורחב בפרק [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת|הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת]], אך, עדיןעדיין רצוי לקרואו בכדי להקל על הלמידה בהמשך.
 
הנגזרת עוזרת לנו לגלות את התנהגות הפונקציה ;, כאשר :
# ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
# ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
 
===התנהגות הפונקציה ביחס לנגזרת השנייה===
גם, בדרך השנייה (גזירה שנייה), הרעיון בה לידי ביטוי, אולם, הוא בודק את התנהגות '''הנגזרת השנייה''' ביחס לפונקציה. גילנו שהיחס בין הנגזרת השנייה לפונקציה הוא הפוך, כלומר :
# חיובית - הפונקציה יורדת.
# שלילית - הפונקציה עולה.
# אפס - נקודת פיתול. נלמד בהמשך בפרק [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת|הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת]]
ולכן, כאשר קיבלנו :
# תוצאה שלילית - הנקודה הייתה נקודת מקסימום.
# תוצאה חיובית - הנקודה הייתה נקודת מינמום.
 
==הסבר==
הנגזרת עוזרת לנו לגלות את התנהגות הפונקציה; בכדי לדעת מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת, נציב מספרים בנגזרת. כאשר :
# ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
# ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
 
==שלבים==
השלבים יהיו זהים לשלבים שהצגנו בפרק [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|מציאת נקודות קיצון]] - דרך א' :
* גזירת הפונקציה.
* השוואת הנגזרת לאפס ומציאת ערכי ה-X של נקודות הקיצון.
* שימוש בטבלה :
** נסדר את ערכי ה-x לפי סדר עולה.
** נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
**נציב הנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר :
*** ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
*** ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
*נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום ומי הן נקודות מקסימום :
** אם נקודה היא נקודת מינימום - הפונקציה עוברת מירידה לעלייה. כלומר, שכל הטווח שבין הנקודה הקודמת אליה הוא עלייה.
** אם נקודה היא נקודת מקסימום - הפונקציה עוברת מעלייה לירידה. כלומר, כל הטווח שבין נקודת הקיצון הקודמת לזו, הוא טווח של ירידה.
 
נפתור את התרגיל בשלבים:
* הנגזרת : <math>f(x)'=3x^2+18x+15 = 0</math>
* פתירה (באמצעות [[טרינום]]) : <math>f(x)'=(x+1)(x+5)</math>
* פתרונות :
** <math>\ x=-1</math>
** <math>\ x=-5</math>.
|}
 
* נציב מספרים לפני ואחרי הנקודות החשודות נבדוק נגזרת :
{| class="wikitable" border="1"
! 0
 
*נקבע את התנהגות הפונקציה - קיבלנו את שלושת החלקים הבאים:
** טווח ראשון - <math> \ - \infty < x < -5</math>. נרשם גם : <math>x<-5</math>
** טווח שני - <math> \ -5 < x < -1</math>
** טווח אחרון - <math> \ -1 < x < \infty </math>. נרשם גם : <math>X>-1</math>
 
'''הפתרון :'''
* תחומי העלייה של הפונקציה : <math> \ - \infty < x < -5</math> ו-<math> \ -1 < x < \infty </math>
ניתן לכתוב בקצרה פשוט <math> \ x < -5 </math> ו<math> \ x > -1</math>.
* תחום הירידה של הפונקציה : <math> \ -5 < x < -1</math>.
 
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]
1,327

עריכות