אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
Zahar.lenava (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''משוואה לינארית ב-<math>n</math> נעלמים''' היא משוואה מהצורה <math> a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=b</math> כאשר <math>a_{1},..,a_{n}\in\mathbb{R} </math> ו-<math> x_{1},..,x_{n}</math> נעלמים. <math>b</math> מייצג '''מקדם חופשי'''.
}}▼
ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, <math>ax_1+\cdots+a_nx_n=\sum_{j=i}^
'''מרחב (<math>\R^{n}</math>), ''' למשל <math>\R^{2}</math> הוא המישור,<math> \R^{3} </math> מרחב תלת מימדי וכן הלאה.
'''אניות (<math>n</math>-יה סדורה) -''' אוסף של איברים מסודרים לפי סדר, למשל, <math>\R^{n}=\left\{ \left(x_{1},..,x_{n}\right)|x_{i}\in\R\;\forall1\le i\le n\right\}</math> , אזי <math>x_{1},...x_{n}</math> היא אניה.
'''וקטור''' <math>\left(x_{1},..,x_{n}\right) </math> הוא '''פתרון של המשוואה''' <math> a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=b</math> אם בעת הצבתו במקום הנעלמים <math>x_{1},..x_{n}</math> מתקבלת משוואה אמת. למשל <math>x_1+x_2=0</math> כאשר הווקטור הוא למשל <math>(2,-2)</math>.
'''קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית''' הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה <math>\left\{ \left(x_{1},..x_{n}\right)\in\R^{n}\mid a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=b\right\}</math> אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.
בהמשך לדוגמה הקודמת, אוסף הפתרונות של <math>x_1+x_2=0</math> היא האניה <math>\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{\mathbb{R}}^{2}|x_{1}+x_{2}=0\}</math>
▲=משוואה לינארית ב־n נעלמים=
▲ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, <math>ax_1+\cdots+a_nx_n=\sum_{j=i}^Na_jx_i</math>
מאחר ש-<math>x_1=-x_2</math> נסמן את <math>x_2=t</math> ולכן ההצגה הפרמטרית היא <math>\left\{ \left(-t,t\right)|t\in\R\right\} =\left\{ \left(x_{1},x_{2}\right)\in\R^{2}\mid x_{1}-x_{2}=1\right\} </math>
=מערכת של משוואות ליניאריות=
{{הגדרה|
מספר=2|
שורה 49 ⟵ 22:
תוכן=
מערכת עם <math>m</math> משוואות ו־<math>n</math> נעלמים:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
תהי מערכת משוואות ותסומן <math>Ax=b</math>{{הערה|יש כאן קשר ישיר לכפל מטריצות. אתם מוזמנים לחזור לפה אחרי שתלמדו כפל במטריצה ולנסות לבדוק למה זה באמת כפל מטריצות).}}}}▼
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}</math>
כאשר <math>a_{ij},b_{i}\in\mathbb{R}</math> (<math>\alpha</math> מקדם ו-<math>b</math> מקדם חופשי ו- <math>x_{1},...,x_{n}</math> נעלמים.
▲תהי מערכת משוואות ותסומן <math>Ax=b</math>{{הערה|יש כאן קשר ישיר לכפל מטריצות. אתם מוזמנים לחזור לפה אחרי שתלמדו כפל במטריצה ולנסות לבדוק למה זה באמת כפל מטריצות).
▲}}}
===פתרונות של המערכת===
| |||