ויקיספר

הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמת
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
שורה 1:
<math>\sqrt[n]a</math> הוא מספר שלם או אי־ראציונאליאי־רציונלי לכל <math>a,n\in\N_{>1}</math> .
 
;הוכחה
נניח בשלילה כי קיים <math>\fracsqrt[n]{ca}=\frac{b}\in\Q{c}</math> כאשרעבור מספרים זרים <math>b,c\in\N_{>1}</math> מספרים(שמחלקם זרים,המשותף כךהמקסימלי שמתקיים <math>\sqrt[n]{a}=\frac{c}{b}</math>הוא 1).
נקבל :<math>\begin{align}a=\left(\frac{cb}{bc}\right)^n=\frac{cb^n}{c^n}\\ac^n=b^n\end{align}</math> .▼
במשוואה <math>ab^n=c^n</math> לפי [[w:המשפט היסודי של האריתמטיקה|המשפט היסודי]] קיים מספר ראשוני <math>p</math> כך שמתקייםעבורו <math>p|bc^n</math> .▼
 
לפי [[w:הלמה של אוקלידס|הלמה של אוקלידס]] אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק '''לפחות אחד מגורמיה'''. לפיכך▼
מספרים <math>b,c</math> זרים אם ורק אם מחלקם המשותף המקסימלי הוא 1.
:<math>p|c^n\implies p|c\implies p|ac^n\implies p|b^n\implies p|b</math>
 
קיבלנו <math>p|b</math> וגם <math>p|c</math> , כך שהמחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא עתה <math>p</math> אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. ''סתירה''.▼
▲נקבל <math>a=\left(\frac{c}{b}\right)^n=\frac{c^n}{b^n}</math> .
 
▲במשוואה <math>ab^n=c^n</math> לפי [[w:המשפט היסודי של האריתמטיקה|המשפט היסודי]] קיים מספר ראשוני <math>p</math> כך שמתקיים <math>p|b^n</math> .
 
▲לפי [[w:הלמה של אוקלידס|הלמה של אוקלידס]] אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק '''לפחות אחד מגורמיה'''
:<math>p|(a_1\times\cdots\times a_n)\iff p|a_1\or\cdots\or p|a_n</math>
לפיכך
:<math>p|b^n\iff p|b</math>
מן השוויון <math>ab^n=c^n</math> נובעת גרירה <math>p|c^n\iff p|ab^n</math> . נקבל
:<math>p|c^n\iff p|c</math>
▲קיבלנו <math>p|b</math> וגם <math>p|c</math> , כך שהמחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא עתה <math>p</math> אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. ''סתירה''.
 
<math>\blacksquare</math>
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/הוכחות_מתמטיות/שונות/תחום_הגדרת_שורש_טבעי_למספר_טבעי"