תורת הקבוצות/יחסי שקילות: הבדלים בין גרסאות בדף

<math>c\in{}[a]</math> אם ורק אם <math>c\mathfrak{D}a</math> אם ורק אם <math>c\mathfrak{D}b</math> (טרנזיטיביות) אם ורק אם <math>c\in{}[b]</math>.

שנית, נניח כי <math>a\bcancel{\mathfrak{D}}b</math> (כלומר <math>(a,b)\not\in{}\mathfrak{D}</math>) ונניח בשלילה כי <math>[a]\cap{}[b]\neq\varnothing</math>.

לכן יש <math>c\in{}[a]\cap{}[b]</math> לכן <math>c\in{}[a]</math> וגם <math>c\in{}[b]</math> לכן <math>c\mathfrak{D}a</math> ומסימטריות <math>a\mathfrak{D}c</math> וגם <math>c\mathfrak{D}b</math>.

מטרנזיטיביות נקבל <math>a\mathfrak{D}c\land{}c\mathfrak{D}b\to{}a\mathfrak{D}cb</math> בסתירה להנחה כי <math>a\bcancel{\mathfrak{D}}b</math>.

לכן הנחת השלילה התבררההובילה כשגויהלסתירה, ולכן כי <math>a\bcancel{\mathfrak{D}}b\to[a]\cap[b]=\varnothing</math>.

לכל <math>a\in{}A</math> מתקיים <math>a\mathfrak{D}a</math> ולכן <math>[a]\neq{}\varnothing</math>.

לכל <math>a\in{}A</math>, מהגדרת מחלקת השקילות, נקבל <math>[a]\subseteq{}A</math> לכן <math>\bigcup_{a\in{}A}[a]\subseteq{}A</math>.

לכל <math>a\in{}A</math> נקבל <math>a\in[a]</math> (כפי שהראנו) לכן <math>a\in{}\bigcup_{a\in{}A}[a]</math> ולכן <math>A\subseteq\bigcup_{a\in{}A}[a]</math>.

לכן, מהגדרה, מצאנו כי <math>S=A\setminus\mathfrak{D}</math> ('''קבוצת המנה''': ראה הגדרה) היא '''חלוקה''' של <math>A</math>.

עתה נוכיח כי <math>S</math> היא החלוקה '''היחידה''' שמשרה את <math>\mathfrak{D}</math>.

ראשית, נראה שהיא אכן משרה את <math>\mathfrak{D}</math>, כלומר, נראה כי <math>a\mathfrak{D}b</math> אם ורק אם <math>a,b</math> באותו התא של <math>S</math>:

אם <math>a\mathfrak{D}b</math> אז <math>a\in{}[b]</math> וגם <math>b\mathfrak{D}b</math> (יחס שקילות) לכן <math>b\in{}[b]</math> ולכן <math>a,b</math> באותו תא.

אם <math>a,b\in{}[c]</math> (אם הם באותו תא) אז <math>a\mathfrak{D}c</math> וגם <math>b\mathfrak{D}c</math> לכן נקבל <math>a\mathfrak{D}b</math> (סימטריה, וטרנזיטיביות)

בכך הראנו שהחלוקה <math>S</math> משרה את היחס <math>\mathfrak{D}</math>.

תהא <math>T</math> חלוקה שמשרה את <math>\mathfrak{D}</math>. כלומר <math>a\mathfrak{D}b</math> אם ורק אם <math>a,b</math> באותו התא של <math>T</math>.

יהי <math>X\in(T)</math> תא אשר האיבר <math>a</math> שייך אליו.

יהי <math>b\in{}X</math>, לכן <math>a\mathfrak{D}b</math> (שניהם באותו התא) ולכן <math>b\in{}[a]</math> (תא של <math>S</math>) מכאן ש-<math>X=[a]</math>.

הראנו שלכל תא <math>X</math> של איבר <math>a</math> ב-<math>T</math> מתקיים <math>X=[a]</math> לכן <math>X\in{}S</math> ולכן <math>T\subseteq{}S</math>.

יהי <math>[a]\in{}S</math> ויהי <math>X\in{}T</math> תא ש-<math>a</math> שייך אליו.

יהי <math>b\in[a]</math> לכן <math>a\mathfrak{D}b</math> ולכן <math>b\in{}X</math>(<math>T</math> משרה את <math>\mathfrak{D}</math>) ולכן <math>[a]=X</math>.

הראינו שלכל <math>[a]\in{}S</math> קיים <math>X\in{}T</math> כך ש-<math>X=[a]</math> לכן <math>[a]\in{}T</math> ולכן <math>S\subseteq{}T</math>.

משילוב הכיוונים מצאנו כי <math>S=T</math> ובכך הראנו כי <math>A\setminus\mathfrak{D}</math> היא החלוקה היחידה שמשרה את היחס <math>\Box</math>.