תורת הקבוצות/יחסי שקילות: הבדלים בין גרסאות בדף

== הגדרות ==

 

[[תורת הקבוצות/יחסים|יחס]] <math>\mathfrak{D}</math> על קבוצה <math>A</math> יקרא '''יחס שקילות''' אם מתקיימים התנאים הבאים:

 

* '''היחס רפלקסיבי:''' לכל <math>a\in{A}</math> מתקיים <math>a\mathfrak{D}a</math> (כלומר <math>(a,b)\in{\mathfrak{D}}</math>).

* '''היחס סימטרי:''' לכל <math>a,b\in{A}</math> אם <math>a\mathfrak{D}b</math> אז <math>b\mathfrak{D}a</math>.

 

==== דוגמאות ליחסי שקילות ====

הדוגמה הראשונה היא טריוויאלית. בעוד הדוגמה השנייה קשה יותר (מומלץ לקרוא בעיון ולנסות להבין). עוד נחזור לדוגמאות אלו אחרי ההגדרה הבאה:

 

תהי קבוצה לא ריקה <math>A</math>. לקבוצה <math>S\subseteq{}\mathcal{P}(A)</math> (מוכלת בקבוצת החזקה של <math>A</math>) נקרא '''חלוקה''' של <math>A</math> אם מתקיימים התנאים הבאים:

 

 

* איברי הקבוצה <math>S</math> זרים בזוגות. כלומר: לכל <math>X,Y\in{}S</math> מתקיים <math>X\cap{}Y=\varnothing</math>.

 

הערה: קבוצה <math>X\in{}S</math> (השייכת לחלוקה) תקרא '''תא''' של החלוקה. כלומר, אם <math>x\in{}X</math> נאמר שהאיבר <math>x</math> שייך לתא <math>X</math> של החלוקה <math>S</math>.

ב. הקבוצה <math>\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math> מהווה חלוקה של <math>A=\{1,2,3\}</math> (ראה דוגמה א' בדוגמאות ליחסי שקילות).

 

יהי <math>\mathfrak{D}</math> יחס שקילות על קבוצה <math>A</math> ויהי <math>a\in{}A</math>. נגדיר קבוצה שתסומן <math>[a]</math> ותקרא בשם '''מחלקת השקילות''' של <math>a</math>באופן הבא:

 

<math>[a]=\{b\in{}A|b\mathfrak{D}a\}</math>

 

 

יהי <math>\mathfrak{D}</math> יחס שקילות על קבוצה <math>A</math>. נגדיר קבוצה שתסומן <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> ותקרא '''קבוצת המנה''' באופן הבא:

 

קבוצת המנה של <math>A</math>, היא קבוצת כל מחלקות השקילות של <math>A</math>. כלומר:

 

 

==== דוגמה: ====