תורת הקבוצות/יחסי שקילות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
YoavPinhasMath (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
YoavPinhasMath (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 11:
* '''היחס סימטרי:''' לכל <math>a,b\in{A}</math> אם <math>a\mathfrak{D}b</math> אז <math>b\mathfrak{D}a</math>.
* '''היחס טרנזיטיבי:''' לכל <math>a,b,c\in{A}</math> אם <math>a\mathfrak{D}b</math> וגם <math>b\mathfrak{D}c</math> אז <math>a\mathfrak{D}c</math>.}}
==== דוגמאות ליחסי שקילות ====
א. יחס השוויון (=) על כל קבוצה <math>A</math> הוא יחס שקילות:
שורה 50 ⟵ 48:
ב. הקבוצה <math>\{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math> מהווה חלוקה של <math>A=\{1,2,3\}</math> (ראה דוגמה א' בדוגמאות ליחסי שקילות).
ג. הקבוצה <math>\{3n|n\in \mathbb{N}\}\cup\{3n+1|n\in \mathbb{N}\}\cup\{3n+2|n\in \mathbb{N}\}</math> היא חלוקה של <math>\mathbb{N}</math>.
{{הגדרה|
שורה 70:
==== דוגמה: ====
== תכונות של יחסי שקילות ==
הגדרנו הגדרות רבות, אך לא עולה מהן בהכרח קשר ליחס השקילות. ראשית, נביא משפט שיעזור לנו לחבר בין כל ההגדרות שמקודם:
{{משפט|
שם=
תוכן=
תהי קבוצה לא ריקה <math>A</math> ותהי <math>S</math> חלוקה של <math>A</math>. יהי <math>\thickapprox</math> יחס על <math>A</math> שיוגדר כדלהלן:
לכל <math>a,b\in{}A</math>, <math>a\thickapprox{}b</math> אם ורק אם <math>a,b\in{}X</math> כאשר <math>X\in{}S</math> (כלומר, <math>a,b</math> נמצאים באותו התא בחלוקה)
היחס <math>\thickapprox</math> הוא יחס שקילות על <math>A</math>.}}
==== הוכחה: ====
שורה 96:
עכשיו יש בידינו כלי, שדרכו נוכל לחבר בין כל ההגדרות שהובאו ולהראות מדוע יחסי השקילות כה חשובים:
{{משפט|
=== משפט: יחידות החלוקה ===▼
שם=קבוצת המנה היא חלוקה|
תהי קבוצה <math>A</math> ויהי <math>\mathfrak{D}</math> יחס שקילות על <math>A</math>. '''קיימת''' חלוקה '''יחידה''' <math>S</math> של <math>A</math> אשר היחס <math>\mathfrak{D}</math> '''מושרה על ידה'''.▼
תוכן=
יהי <math>\mathfrak{D}</math> יחס שקילות על קבוצה לא ריקה <math>A</math>.
קבוצת המנה <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> מהווה חלוקה של <math>A</math> }}
==== הוכחה: ====
{{משפט|
תוכן=
הי <math>\mathfrak{D}</math> יחס שקילות על קבוצה לא ריקה <math>A</math>.
▲
==== הוכחה: ====
| |||