תורת הקבוצות/יחסי שקילות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
YoavPinhasMath (שיחה | תרומות) פיצלתי משפט לשניים כדי להקל על הקריאה. כמו כן, התאמתי (ואמשיך להתאים תכף) את הסגנון של הפרק, כך שיתאים יותר לפרקים שהיו לפניו. |
YoavPinhasMath (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 84:
היחס <math>\thickapprox</math> הוא יחס שקילות על <math>A</math>.}}
* '''היחס <math>\thickapprox</math> סימטרי:''' יהיו <math>a,b\in{}A</math>. אם <math>a\thickapprox{}b</math>, כלומר <math>a,b\in{}X</math> (כאשר <math>X</math> תא בחלוקה) אז ברור ש-<math>b,a\in{}X</math> ולכן <math>b\thickapprox{}a</math>.▼
* '''היחס הוא טרנזיטיבי:''' יהיו <math>a,b,c\in{}A</math>. אם <math>a\thickapprox{}b</math> וגם <math>b\thickapprox{}c</math>, כלומר <math>a,b\in{}X</math> וגם <math>b,c\in{}Y</math> (כאשר <math>X,Y</math> תאים בחלוקה) אז: <math>b\in{}X\land{}x\in{}Y\to{}X=Y</math> (ראה הגדרת החלוקה) לכן <math>a,c\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}c</math>.▼
יהי <math>a\in{}A</math>.
הוכחנו כי <math>\thickapprox</math> הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי ובכך הוכחנו כי הוא יחס שקילות <math>\Box</math>.▼
אם <math>a\in{}X</math> (כאשר <math>X</math> תא בחלוקה) אז ברור ש- <math>a\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}a</math>.
<u>היחס <math>\thickapprox</math> סימטרי:</u>
יהיו <math>a,b\in{}A</math>.
▲
<u>היחס <math>\thickapprox</math> הוא טרנזיטיבי:</u>
יהיו <math>a,b,c\in{}A</math>.
▲
<math>b\in{}X\land{}b\in{}Y\to{}X=Y</math> (ראה הגדרת החלוקה) לכן <math>a,c\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}c</math>.
▲הוכחנו כי <math>\thickapprox</math> הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי ובכך הוכחנו כי הוא יחס שקילות
}}
כפי שמצביע שם המשפט: ליחס זה אנו קוראים '''היחס שמושרה על ידי החלוקה''' או שאנו אומרים '''החלוקה משרה את היחס'''.
שורה 103 ⟵ 120:
קבוצת המנה <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> מהווה חלוקה של <math>A</math> }}
במהלך ההוכחה נסמן <math>[a]</math> מחלקת השקילות (ראו הגדרה) של <math>a</math>.
שורה 167 ⟵ 184:
לפי (1), (2) ו-(3) הראנו שכל מחלקת שקילות אינה ריקה, הראנו שכל שתי מחלקות שקילות שונות זרות והראנו שאיחוד כל מחלקות השקילות הוא <math>A</math>.
לכן, מהגדרת החלוקה, מצאנו כי <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> ('''קבוצת המנה''': ראה הגדרה) היא '''חלוקה''' של <math>A</math>.
}} {{משפט| שם=יחידות החלוקה |
תוכן=
שורה 174 ⟵ 194:
קבוצת המנה <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> היא החלוקה '''היחידה''' של <math>A</math> אשר היחס <math>\mathfrak{D}</math> '''מושרה על ידה'''.}}
במשפט: קבוצת המנה היא חלוקה, הוכחנו כי <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> היא חלוקה של <math>A</math>.
שורה 225 ⟵ 246:
משילוב הכיוונים מצאנו כי <math>T=A\diagup\mathfrak{D}</math>, כפי שרצינו.
מ-(1) ומ-(2) הוכחנו כי <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> היא החלוקה היחידה שמשרה את היחס
}}
במשפטים אלו הוכחנו שני דברים חשובים:
|