תורת הקבוצות/יחסי שקילות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
פיצלתי משפט לשניים כדי להקל על הקריאה. כמו כן, התאמתי (ואמשיך להתאים תכף) את הסגנון של הפרק, כך שיתאים יותר לפרקים שהיו לפניו.
אין תקציר עריכה
שורה 84:
היחס <math>\thickapprox</math> הוא יחס שקילות על <math>A</math>.}}
 
==== {{הוכחה: ====|
 
* '''<u>היחס <math>\thickapprox</math> רפלקסיבי:''' יהי <math>a\in{}A</math>. אם <math>a\in{}X</math> (כאשר <math>X</math> תא בחלוקה) אז ברור ש- <math>a\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}a</mathu>.
* '''היחס <math>\thickapprox</math> סימטרי:''' יהיו <math>a,b\in{}A</math>. אם <math>a\thickapprox{}b</math>, כלומר <math>a,b\in{}X</math> (כאשר <math>X</math> תא בחלוקה) אז ברור ש-<math>b,a\in{}X</math> ולכן <math>b\thickapprox{}a</math>.
* '''היחס הוא טרנזיטיבי:''' יהיו <math>a,b,c\in{}A</math>. אם <math>a\thickapprox{}b</math> וגם <math>b\thickapprox{}c</math>, כלומר <math>a,b\in{}X</math> וגם <math>b,c\in{}Y</math> (כאשר <math>X,Y</math> תאים בחלוקה) אז: <math>b\in{}X\land{}x\in{}Y\to{}X=Y</math> (ראה הגדרת החלוקה) לכן <math>a,c\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}c</math>.
 
יהי <math>a\in{}A</math>.
הוכחנו כי <math>\thickapprox</math> הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי ובכך הוכחנו כי הוא יחס שקילות <math>\Box</math>.
 
אם <math>a\in{}X</math> (כאשר <math>X</math> תא בחלוקה) אז ברור ש- <math>a\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}a</math>.
 
<u>היחס <math>\thickapprox</math> סימטרי:</u>
 
יהיו <math>a,b\in{}A</math>.
 
* '''היחס <math>\thickapprox</math> סימטרי:''' יהיו <math>a,b\in{}A</math>. אם <math>a\thickapprox{}b</math>, כלומר <math>a,b\in{}X</math> (כאשר <math>X</math> תא בחלוקה) אז ברור ש-<math>b,a\in{}X</math> ולכן <math>b\thickapprox{}a</math>.
 
<u>היחס <math>\thickapprox</math> הוא טרנזיטיבי:</u>
 
יהיו <math>a,b,c\in{}A</math>.
 
* '''היחס הוא טרנזיטיבי:''' יהיו <math>a,b,c\in{}A</math>. אם <math>a\thickapprox{}b</math> וגם <math>b\thickapprox{}c</math>, כלומר <math>a,b\in{}X</math> וגם <math>b,c\in{}Y</math> (כאשר <math>X,Y</math> תאים בחלוקה) אז: <math>b\in{}X\land{}x\in{}Y\to{}X=Y</math> (ראה הגדרת החלוקה) לכן <math>a,c\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}c</math>.
 
<math>b\in{}X\land{}b\in{}Y\to{}X=Y</math> (ראה הגדרת החלוקה) לכן <math>a,c\in{}X</math> ולכן <math>a\thickapprox{}c</math>.
 
הוכחנו כי <math>\thickapprox</math> הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי ובכך הוכחנו כי הוא יחס שקילות <math>\Box</math>.
}}
 
כפי שמצביע שם המשפט: ליחס זה אנו קוראים '''היחס שמושרה על ידי החלוקה''' או שאנו אומרים '''החלוקה משרה את היחס'''.
שורה 103 ⟵ 120:
קבוצת המנה <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> מהווה חלוקה של <math>A</math> }}
 
==== {{הוכחה: ====|
 
במהלך ההוכחה נסמן <math>[a]</math> מחלקת השקילות (ראו הגדרה) של <math>a</math>.
שורה 167 ⟵ 184:
לפי (1), (2) ו-(3) הראנו שכל מחלקת שקילות אינה ריקה, הראנו שכל שתי מחלקות שקילות שונות זרות והראנו שאיחוד כל מחלקות השקילות הוא <math>A</math>.
 
לכן, מהגדרת החלוקה, מצאנו כי <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> ('''קבוצת המנה''': ראה הגדרה) היא '''חלוקה''' של <math>A</math>.
}}

{{משפט|
שם=יחידות החלוקה |
תוכן=
שורה 174 ⟵ 194:
קבוצת המנה <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> היא החלוקה '''היחידה''' של <math>A</math> אשר היחס <math>\mathfrak{D}</math> '''מושרה על ידה'''.}}
 
==== {{הוכחה: ====|
 
במשפט: קבוצת המנה היא חלוקה, הוכחנו כי <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> היא חלוקה של <math>A</math>.
 
שורה 225 ⟵ 246:
משילוב הכיוונים מצאנו כי <math>T=A\diagup\mathfrak{D}</math>, כפי שרצינו.
 
מ-(1) ומ-(2) הוכחנו כי <math>A\diagup\mathfrak{D}</math> היא החלוקה היחידה שמשרה את היחס <math>\Box</math>.
}}
 
במשפטים אלו הוכחנו שני דברים חשובים: