ויקיספר

תורת הקבוצות/יחסי סדר: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
העריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
יחסי סדר: יחס סדר חלקי, יחס סדר מלא, יחס סדר חלש, יחס סדר טוב. הגדרות ומשפטים.
 
שיניתי כמה דברים קטנים. עדיין חסרים רוב סוגי הסדרים
שורה 1:
[[w:מתמטיקה|במתמטיקה]] אנו רגילים להתעסק עם עצמים שיש ביניהם סדר. בין אם מדובר במספרים ובין אם מדובר בסדרות ואף בין אם מדובר בקבוצותב[[תורת הקבוצות/מושג הקבוצה|קבוצות]]. בתורתב[[תורת הקבוצות]], יש מוטיבציה להגדיר כל דבר כקבוצה. אם כך, אין זה מפתיע שיחסים בכלל יוגדרו כקבוצות, כפי שעלה מהפרקים הבאיםהקודמים, ובפרט שיחסשיחסי הסדר.
 
נזכור כי יחס מתאר קשר בין איברים בקבוצה, יחס סדר אם כן, מתאר סדר.
 
== יחס סדר חלקי ==
נתחיל עם סדרים חלקיים. למשל, נוכל להסתכל על מפת התחנות של רכבת, מדרום לצפון, כמסודרות באופן חלקי. יכול להיות שיבואו אחרישאחרי תחנה מסויימת יהיו תחנות רבות שאין אף מסילה שמחברת ביניהן (ראו איור של סדר חלקי מימיןמשמאל).
 
יחסי סדר בכלל, ויחס סדר חלקי בפרט, נוהגים לסמן בסימונים בסגנון הזה: <math>\prec, \quad \leq, \quad \gg, \quad <</math>.
שורה 18:
הקבוצה <math>\prec = \{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(3,5)\}</math> היא יחס סדר חלקי.
 
למשל, <math>1\prec2</math> (נקרא זאת: 1 קטן מ-2, או 1 לפני 2) וגם <math>2\prec4</math> ואכן מתקיים ש-<math>1\prec4</math>.
 
ניתן גם לראות כי <math>3\cancel{\prec}4</math> וגם <math>4\cancel{\prec}3</math>.
שורה 30:
אנו רואים כי 1 הוא האיבר הכי קטן ביחס, בעוד אין איבר שהוא הכי גדול.
 
אנו גם רואים כי אין איברים הגדולים מ-4 ומ-5. לתכונות אלו נתןניתן שם בהמשך. כרגע, נביא טענה, שיתכן והבחנם או חשדתם בנכונותו:
 
{{טענה|תוכן=יהי <math>\prec</math> יחס סדר חלקי על קבוצה <math>A</math>.
שורה 56:
נניח כי <math>n|_2 m</math> ו-<math>m |_2 k</math> לכן קיימים <math>x,y>1</math> טבעיים עבורם <math>k=x\cdot m</math> וגם <math>m = y\cdot n</math>.
 
מטרנזיטיביות השוויון (ראה [[תורת הקבוצות/יחסי שקילות|יחסי שקילות]]) נקבל כי <math>k = x\cdot m = x\cdot y \cdot n</math>.
 
כמו כן, <math>x,y>1\to x\cdot y >1</math> וגם כפל של טבעיים הוא מספר טבעי ולכן <math>n|k</math>.
שורה 71:
 
 
 
הערה: מהגדרה זו נובע ששוויון של קבוצות סדורות חלקית מתבצע לפי שוויון של [[תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית|זוגות סדורים]].
 
כלומר <math>(A,\prec_1)=(B\prec_2)</math> אם ורק אם <math>A=B</math> וגם <math>\prec_1=\prec_2</math>.
שורה 81 ⟵ 82:
ב. נסו למצוא קבוצה <math>A</math> ושני יחסי סדר חלקי שונים <math>\prec_1, \prec_2</math> כך שמתקיים <math>\{(a,b)\in A\times A|a\prec_1 b\}=\{(a,b)\in A\times A| a\prec_2 b\}</math>.
 
(כדי לענות על שאלה זו, נבהיר כי אנו מבקשים סדרים "אבסטרקטיםאבסטרקטיים" כלומר <math>a\prec b</math>אם ורק אם משהו.. וקבוצות ספציפיות).
 
על אף שבשתי הדוגמאות בשאלה, כקבוצת זוגות נקבל בסוף את אותו הדבר, עדיין מדובר '''בקבוצות סדורות שונות''' (או קבוצות שונות, או סדרים שונים).
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/תורת_הקבוצות/יחסי_סדר"