מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
======
באינדוקציה, צריך בדרך-כלל להוכיח טענה מסוימת או תכונה של קבוצת מספרים. היופי שלה הוא ש"אפקט הדומינו" הוא
▲"אפקט הדומינו" הוא היופי של האינדוקציות- אנחנו מוכיחים טענה עבור מספר כלשהו, k (שיכול להיות כל מספר טבעי שהוא), ועבור המספר העוקב שלו, k+1. ההגדרה הזו מכסה את כל המספרים הטבעיים, ובהוכחה עבור מקרה כללי (שהוא יותר אמין ויותר פרקטי) כיסינו את כל המקרים שיכולים להיות.
הערה חשובה- בפרק הזה אני אעבוד עם k, למרות שניתן להשתמש בסימונים אחרים, כמו p,m,n או כל אות לטינית אחרת. שחף_ו
אני כותב את
אם לא- כדאי והכרחי להבין את הנושאים האלו, כי בלעדיהם יהיה קשה להבין את
בהוכחות באינדוקציה, יש מבנה קבוע ומוגדר מראש שצריך לעקוב אחריו. המבנה עוזר, לדעתי, ב"ראיית" ההוכחה ומסדר את הטיעונים הדרושים להוכחת הטענה. להלן תמצית המבנה עם דוגמה לפתרון:
הוכח שהביטוי <math>2n^2+3n-4</math> חיובי לכל n טבעי.
<math>2(k+1)^2+3(k+1)-4>0</math>.
</div>
נפתח סוגריים ונפשט את הביטוי ונקבל- <div style="text-align:left; direction:ltr;">
<math>2(k^2+2k+1)+3(k+1)-4=2k^2+4k+2+3k+3-4=2k^2+7k+1</math>
</div>, כלומר מספיק להוכיח שהביטוי <math>2k^2+7k+1</math> חיובי לכל k טבעי.
בשביל הפתרון, ניעזר בהנחת האינדוקציה (במקרים אחרים היא הדרך היחידה לפתרון נכון) ונפרק את הביטוי <math>2k^2+7k+1</math>, כך שיהיה הנחת האינדוקציה ועוד איבר/ים מסוים/מים.
משם נותר להוכיח רק לגבי האיבר/ים שהתווספו. נקבל: <math>2k^2+7k+1=2k^2+3k+4k-4+5=2k^2+3k-4+4k+5>0</math>. הביטוי <math>2k^2+3k-4</math> הוא הנחת האינדוקציה והוא חיובי לכל k טבעי (נובע מההנחה). קל להוכיח, שהביטוי 4k+5 הוא ביטוי חיובי לכל k טבעי.
מסקנה- קיבלנו סכום של שני ביטויים חיוביים- שהוא תמיד חיובי. מש"ל.
שורה 80:
הטריק באינדוקציות מהסוג הזה, הוא לשחק עם המספרים כך שיתקבל ביטוי שכולל את הנחת האינדוקציה וביטוי נוסף שלגביו צריך להוכיח שהחילוק שלו במספר הנתון ייתן מספר שלם.
כמו-כן, רוב הזמן צריך לפרק מספרים או ביטויים כך שיתקבל ביטוי שיכלול את הנחת האינדוקציה.
בשביל להבין מה צריך לעשות באינדוקציות כאלו, נביט על הטענה הבאה:
לכל n טבעי, הביטוי <math>5^n-1</math> מתחלק ב-4 ללא שארית.
לכאורה נראה די קל להוכיח את האינדוקציה- בודקים ל-n=1, מניחים את ההנחה ו...לא יודעים מה לעשות בחלק הבא.
באינדוקציות כאלו, כשמנסחים את מה שצריך להוכיח, תמיד כדאי לפרק את הביטוי שהתקבל לכפולות של הנחת האינדוקציה ולאיבר נוסף, שלגביו נוכיח את התכונה.
בדיקה- עבור n=1 מתקיים- <math>\frac{5^1-1}{4}=\frac{5-1}{4}=1</math>
קיבלנו 1 שהוא מספר שלם. בדיקה התקבלה.
הנחת האינדוקציה- מתקיים עבור n=k, שהביטוי <math>\frac{5^k-1}{4}</math> הוא מספר שלם.
צריך להוכיח- עבור n=k+1, הביטוי <math>\frac{5^{k+1}-1}{4}</math> הוא מספר שלם.
נתבונן בביטוי <math>\frac{5^{k+1}-1}{4}</math>.
אפשר לפרק אותו ל- <math>\frac{5*5^k-1}{4}</math>.
ניתן לרשום- 5=4+1, ואז מה שצריך להוכיח הוא- <math>\frac{5^k*(4+1)-1}{4}</math>.
נפתח סוגרים: <math>\frac{4*5^k+5^k-1}{4}=\frac{5^k-1}{4}+\frac{4*5^k}{4}</math>. קיבלנו את הנחת האינדוקציה, שהיא שלמה לכל מספר טבעי (כך הנחנו), ואת הביטוי <math>5^k</math>, שהוא שלם לכל k טבעי.
מסקנה- קיבלנו סכום של שני מספרים שלמים, וסכום כזה תמיד ייתן מספר שלם.
מש"ל.
| |||